2.3离散型随机变量的均值与方差-教案

2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第1页共17页离散型随机变量的均值与方差教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”，以及“若ξ～B(n,p)，则Eξ=np”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。复习：1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆随机变量常用希腊字母ξ、η等表示奎屯王新敞新疆2离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量奎屯王新敞新疆若ξ是离散型随机变量，η=aξ+b,a,b是常数，则η也是离散型随机变量。3分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列奎屯王新敞新疆ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…4分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．5离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是ξ01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0qpCnnn2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第2页共17页knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．6离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为kA、事件A不发生记为kA，P(kA)=p，P(kA)=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()kkkkkPkPAAAAAPAPAPAPAPAqp（k＝0,1,2,…，pq1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k…Pppq2qp…1kqp…称这样的随机变量ξ服从几何分布奎屯王新敞新疆记作g(k，p)=1kqp，其中k＝0,1,2,…，pq1．离散型随机变量的均值问题：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对每千克混合糖果定价才合理？价格定为(18+24+36)/3=26(元/千克)；合理吗？如何体现三种的比例？平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别为1/2kg,1/3kg,1/6kg,所以价格应定为:182436263213(元/千克).它是三种糖果价格的加权平均，其中1/2,1/3,1/6权数，在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例，权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响也越大.加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第3页共17页数据按照合理的比例来计算.1/2表示价格为18元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/3表示价格为24元/千克的糖果在混合糖果中所占比例，1/6表示价格为36元/千克的糖果在混合糖果中所占比例.“在搅拌均匀的混合糖果中，如果每一颗糖果的质量都相等,”那么在混合糖果中任取一颗糖果，取到每颗糖果的可能性相等，这样在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为24元/千克的糖果的概率是多少？恰好是价格为36元/千克的糖果的概率是多少？在混合糖果中任取一颗，取到的糖果恰好是价格为18元/千克的概率是1/2，恰好是价格为24元/千克的概率是1/3，恰好是价格为36元/千克的概率是1/6.假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗糖果的原来单价（元/千克），则X的分布列为：因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率。这样，每千克混合糖果的合理价格应为：X182436P1/21/31/618×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)=23(元/千克).一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称E(X)=nniipxpxpxpxpx332211为X的均值或数学期望，简称期望．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若Y=aX+b,a,b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，因为：ξx1x2…xi…xiηax1+bax2+b…axi+b…axi+bPp1p2…pi…piP(Y=axi+b)=P(X=xi)，i=1,2,…,n.所以Y的分布列为：于是)(YE11)(pbax22)(pbax…iipbax)(…nnpbax)(2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第4页共17页＝11(pxa22px…nnpx…)1(pb2p…np…)＝bXaE)(，由此，我们得到了期望的一个性质:bXaEbaXE)()(思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？问题的本质：选择方差大的好还是方差小的好？如果其他班级选手的射击成绩都在9环左右，本班候选人成绩只有8环，要想取胜或不输，选手必须超常发挥。一般来讲，方差大的，超常发挥的可能性越大，因此，应该派甲去；并且通过发布列可以计算甲取胜或不输的概率(大于等于9环)。如果其他班级选手的射击成绩都在7环左右，要想取胜或不输，本班选手的射击成绩稳定在8环比较好，因此，选择派乙去；他的成绩的方差比较小，成绩更集中于8环，取胜的可能性更大；通过发布列可以计算乙取胜或不输的概率(大于等于7环)。例1在篮球比赛中，罚球命中得1分，不中得0分。如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他他罚球1次得分X的均值(期望)是多少。解：因为3.0)0(,7.0)1(XPXP，所以)0(0)1(1)(XPXPXE7.03.007.01一般地，如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p于是有若X服从二点分布，则E(X)=p.如果X～B(n,p),那么由11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC,可得)(XEknknkknqpkC0)1(11111knknkknqpnpCknknkknqpnpC1101np即：∵knkknknkknqpCppCkXP)1()(，)(XE0×nnqpC00＋1×111nnqpC＋2×222nnqpC＋…＋k×knkknqpC＋…＋n×0qpCnnn．2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第5页共17页∴)(XE(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．故若X～B(n，p)，则)(XEnp．随机变量的均值与样本的平均值有什么联系与区别？随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此，样本的平均值是随机变量；对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越老越接近于总体的均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值。例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各个选项中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次测验中的成绩的均值。解：设学生甲和乙在这次单元测验中选对的题数分别为X1,X2，则X1~B（20,0.9）,X2～B(20,0.25),525.020)(,189.020)(21XEXE奎屯王新敞新疆由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2奎屯王新敞新疆所以，他们在测验中的成绩的均值分别是：,90185)(5)5(11XEXE,2555)(5)5(22XEXE学生甲在这次单元测试中的成绩一定是90分吗？他的成绩均值90分的含义是什么？90表示随机变量X的均值；甲的成绩是一个随机变量，比如取值可能为0,5,10,…95,100；他的均值为90分的含义是：在多次类似的考试中，他的平均成绩大约是90分。例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第6页共17页方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X1、X2和X3分别表示方案1，2，3的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即X1=3800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元；没有大洪水时，损失2000元，即262000，有大洪水；X=2000,无大洪水.同样，采用第3种方案，有360000，有大洪水；X=10000,有小洪水；0,无洪水.于是，E(X1)＝3800,E(X2)＝62000×P(X2=62000)+200000×P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600,E(X3)=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100.采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．例4随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数X的均值奎屯王新敞新疆解：∵6,,2,1,6/1)(iiXP，6/166/126/11)(XE=3.5奎屯王新敞新疆2012.04.15选修2-3离散型随机变量的均值与方差第7页共17页例5有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次奎屯王新敞新疆求抽查次数X的期望（结果保留三个有效数字）奎屯王新敞新疆解：抽查次数X取1≤X≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…，10）取出次品的概率：1