利用导数探究函数的零点

利用导数探究函数的零点问题-112345xyO如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则下面判断正确的有.(1)在(-1,1)内，f(x)是增函数；(2)在(4,5)内，f(x)是增函数；(3)当x=1时，y=f(x)有极大值；(4)当x=4时，y=f(x)有极小值.（2）（4）函数f(x)=x3-3x2+1思考1：能不能画出函数的草图？思考2：函数f(x)有几个零点？思考3：方程x3+1=3x2在区间（0，2）内有几个解？思考4：函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)有几个零点？探究：函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示解：易知该函数的定义域是R，)2(363)(2xxxxxf由0)(xf得，0x或2x当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)0,(0)2,0(2),2()(xf0－0)(xf↗a↘4a↗因此函数)(xf的极大值是,)0(af极小值是.4)2(af因此函数)(xf的极大值是,)0(af极小值是.4)2(af①当0a或04a，即0a或4a时，)(xf有一个零点；②当0a或04a，即0a或4a时，)(xf有两个零点；③当0a且04a，即40a时，)(xf有三个零点.函数f(x)=x3-3x2+a(a∈R)的零点个数.几何画板演示例1、已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：（1）易知该函数的定义域是R，)(333)(22axaxxf由0)(xf得，ax或ax当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x),(aa),(aaa),(a)(xf0－0)(xf↗↘↗故函数)(xf的单调递增区间是),(a，),(a；)(xf的单调递减区间是),(aa.（2）∵)(xf在1x处取得极值，∴033)1(af，解得1a，此时，13)(3xxxf直线my与)(xfy的图象有三个不同的交点，等价于函数mxfxg)()(有三个不同的零点.∵mxxxg13)(3，∴)1)(1(333)(2xxxxg由（1）知，)(xg的极大值为,1)1(mg，极小值为.3)1(mg要使直线my与)(xfy的图象有三个不同的交点，则需03)(01)(mxgmxg极小极大，即.13m故m的取值范围为1,3.几何画板演示已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.解：)1)(13(123)(2xxxxxf由0)(xf得，31x或1x当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)31,(31)1,31(1),1()(xf0－0)(xf↗a275↘1a↗故函数)(xf的极大值是,275)31(af极小值是.1)1(af要使函数axxxxf23)(的图象与x轴仅有一个交点，则需0275)(axf极大或01)(axf极小，解得275a或.1a故实数a的取值范围为,1275,.解：)1)(13(123)(2xxxxxf由0)(xf得，31x或1x当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)31,(31)1,31(1),1()(xf0－0)(xf↗a275↘1a↗故函数)(xf的极大值是,275)31(af极小值是.1)1(af要使函数axxxxf23)(的图象与x轴仅有一个交点，则需0275)(axf极大或01)(axf极小，解得275a或.1a故实数a的取值范围为,1275,.几何画板演示例2、已知函数2()8,()6ln.fxxxgxxm问：是否存在实数,m使得()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。几何画板演示解：设)()()(xfxgxh，则mxxxxhln68)(20x函数)(xf的图象与)(xg的图象有且只有三个不同的交点，等价于函数)(xh的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.xxxxxxh)3)(1(2682)(，由0)(xh得1x或3x.当x变化时，)(xh，)(xh的变化情况如下表：x)1,0(1)3,1(3),3()(xh0－0)(xh↗7m↘153ln6m↗因此，)(xh的极大值为7)1(mh，极小值为.153ln6)3(mh因此，)(xh的极大值为7)1(mh，极小值为.153ln6)3(mh又当0x时，)(xh；当x时，.)(xh因此，)(xh的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，等价于0153ln6)(07)(mxhmxh极小极大，解得.3ln6157m故存在实数m，使得函数)(xf的图象与)(xg的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为).3ln615,7(函数221ln)(xxxf有个零点.0几何画板演示(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=k有三个解，求k的取值范围．已知函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时，函数f(x)的极值为.343、注意分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想的应用.2、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性，函数的极值讨论.1、我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.