利用导数研究函数的单调性

3.3导数在研究函数中的应用3．3.1利用导数研究函数的单调性1．设函数y＝f(x)在某个区间上的导数为f′(x)，如果，那么函数y＝f(x)递增，如果，那么函数y＝f(x)递减．2．从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的，变化率的绝对值越大说明变得越快，绝对值越小说明变得越慢；从函数的图象看，导数是切线的，斜率的绝对值大说明切线，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较，曲线也就平缓一些．f′(x)0f′(x)0变化率斜率陡平一、预习检查思考：可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？提示可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零．这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f′(x)＝0.1．若f(x)在[a，b]上连续且在区间(a，b)内，f′(x)0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()．A．f(x)0B．f(x)0C．f(x)＝0D．不能确定解析因f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)f(a)≥0.答案A预习效果检查2．函数f(x)＝x＋lnx的单调增区间为()．A．(－∞，－1)，(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－1,1)解析∵f′(x)＝1＋1x＝x＋1x，∴由于f′(x)0，且由f(x)的定义域：{x|x0}，知x0时，f′(x)0恒成立．答案B3．函数y＝x3－3x的单调递减区间是________．解析∵y′＝3x2－3＝3(x2－1)，∴令y′0，即3(x＋1)(x－1)0，解得－1x1.答案(－1,1)题型一判断或证明函数的单调性【例1】证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．证明∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．二、课程讲解题型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．解函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x＝6x－33x＋33x，令f′(x)0则x33或－33x0，又∵x0，∴x33，令f′(x)0，则x－33或0x33，又∵x0，∴0x33，∴f(x)＝3x2－2lnx的增区间为33，＋∞，减区间为0，33.题型三已知单调性求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在区间－23，－13内是减函数，求a的取值范围．解(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－3≤a≤3时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－120，即a3或a－3时，函数f′(x)存在零解，此时当x－a－a2－33时，f′(x)0，当x－a＋a2－33时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当－a－a2－33x－a＋a2－33时，f′(x)0，函数f(x)单调递减．此时函数的单调增区间为(－∞，－a－a2－33)，－a＋a2－33，＋∞；单调递减区间为－a－a2－33，－a＋a2－33.故若－3≤a≤3，f(x)在R上为增函数；若a＞3或a＜－3函数f(x)单调递增区间为－∞，－a－a2－33，－a＋a2－33，＋∞；函数f(x)单调递减区间为－a－a2－33，－a＋a2－33.(2)若函数在区间－23，－13内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0两根在区间－23，－13外，因此f′－23≤0，且f′－13≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2，＋∞)．1．(1)试证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减．(2)试问：若将题中区间改为(0，π)，函数f(x)的单调性如何？(1)证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx0，∴xcosx－sinx0，∴f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是减函数．三、课堂练习(2)解f′(x)＝xcosx－sinxx2，令g(x)＝xcosx－sinx，则g′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，∵x∈(0，π)，∴g′(x)0，故g(x)是减函数，∴g(x)g(0)＝0，∴x∈(0，π)时，f′(x)0，∴f(x)＝sinxx在区间(0，π)上是减函数．2．求函数f(x)＝x2－2lnx的单调区间．解f′(x)＝2x－2x＝2x2－1x，又f(x)的定义域为{x∈R|x0}，∴x，f′(x)、f(x)的取值变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)1由上表可知，函数f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数或直接由f′(x)0，得2x2－1x0，∴x2－10，x0，得x1；由f′(x)0，即x2－1x0，由x2－10，x0，解得0x1.故f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)．3．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．解∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，∴f′(x)0恒成立或f′(x)0恒成立，由于30，∴只能有f′(x)0恒成立，∴Δ＝4－12m0，故m13，但由于m＝13时，也符合题意，故实数m的取值范围是13，＋∞.误区警示因认为f(x)为增(减)函数的充要条件是f′(x)0(f′(x)0)而致误【示例】已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．探究：错因分析上述的解法中，把f′(x)0视为了f(x)在某区间上为增函数的充要条件，事实上f′(x)0是f(x)在某区间上为增函数的充分不必要条件．[正解一]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0.f′(x)≥0⇔t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，考虑函数g(x)＝3x2－2x的图象是对称轴为x＝13且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥(3x2－2x)max＝3×(－1)2－2×(－1)＝5，则t的取值范围是t≥5.[正解二]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0.∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f(x)在(－1,1)上满足f′(x)0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5.课堂总结1．利用导数的正负，可以很好的判定函数的单调性，具体结论如下：已知函数y＝f(x)，(1)如对任意x∈(a，b)，恒有f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递增；(2)如对任意x∈(a，b)，恒有f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减．2．用导数求函数单调区间的步骤如下：(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)0(或f′(x)0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．3．利用导数的正负与函数单调性的关系可以证明函数的单调性，求函数的单调区间、证明不等式、求参数的范围等．证明不等式需要构造函数.