利用导数证明不等式

利用导数证明不等式(1)函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式利用导数得出函数单调性来证明不等式。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用：方法：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1、证明：当x0时，xln(1+x)01111)(,0xxxxfx时当解：设f(x)=x-ln(1+x).即xln(1+x).所以f(x)在x0上单调递增，从而当x0时，有f(x)f(0)=0即f(x)0例2:当x1时,证明不等式:.132xx证:设,132)(xxxf).11(111)(2xxxxxxf显然,当x1时,,故f(x)是（1,+∞)上的增函数.0)(xf所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时,f(x)0.132xx例3已知：x0，求证：xsinx[证明]设f(x)＝x－sinx(x0)f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数∴f(x)f(0)＝0∴f(x)0即x－sinx0对x∈(0，＋∞)恒成立即：xsinx(x0)．有时把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。方法2：利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。1,0,21'xxxf1,0,2xxxxf证明：设0,1042xxx求证：已知例列表得：得令210'xxfx0(0,0.5)0.5(0.5，1)1+—f(x)f(0)单调递增↗极大值f(0.5)单调递减↘f(1))(xf01,4121,00fff0100002xxxxffxf时即当xexx105时、证明例列表得：得令证明：设00101''xxfexfxxexfxxx0—+f(x)单调递减↘f(0)单调递增↗)(xf0，，010000,00000xexxffxfxfxfxxxx时，即当取最小值时，取极小值且为唯一极值时，当xexxxln,06求证已知例xxfxffxfxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxxfln0011110101010111ln''''即取最大值时极值，即取极大值，且为唯一时，时，当时，当得由证明：设000001010''xexgxgxxgxgexexgxexxgxxxx时为减函数在即设xexxxln0时综上例7、求证22)1(2)1(1xxxx32)1(321)1(211lnxxxx)0()1(321)1(211ln)(32xxxxxxf证明：设)]1(211)[1(2xxx22)1(2)1(11)(xxxxxf)]1(21)[1(22xxxx)12()1(22xxx2321)1(xxx在x=1附近由负到正)(xf令=0,解得x=1,)(xf当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x0时，f(x)≥f(1)=032)1(321)1(211lnxxxx从而小结:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下