13.5.3角平分线课件

13.5.3角平分线（一）知识回顾1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.oBCA12符号语言：∵射线OC是∠AOB的角平分线∴∠1=∠2（一）知识回顾2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.OPAB垂线段PO的长度在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点A的某条直线对折，使角的两边AB与AC重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为AD.你发现∠BAC是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？CBAD活动一：结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.探究角的轴对称性（二）探究新知请同学们用尺规做出一个任意角的角平分线，在角平分线上任意取一点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点M，N，用圆规比较PM与PN的大小，你有什么发现？说明你的理由.结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.探索角平分线的第一个性质（二）探究新知活动二：CBMAPND已知：AD是∠BAC的角平分线点P是AD上任意一点，PM⊥ABPN⊥AC求证：PM=PNCBMAPND12证明：∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵PM⊥ABPN⊥AC∴∠AMP=∠ANP=90º在△AMP与△ANP中∵∠1=∠2∠AMP=∠ANPAP=AP∴△AMP≌△ANP（AAS）∴PM=PN角平分线的性质1角的平分线上的点到角的两边的距离相等.CBMAPND应用所具备的条件：（1）AD为角的平分线；（2）点P在该平分线上；（3）PM⊥ABPN⊥AC作用：判断线段相等的依据.符号语言：∵AD平分∠BACPM⊥ABPN⊥AC∴PM=PN判断正误，并说明理由：1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE()2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PE=PF.()3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.()AOBCDEPPEDCBOA测试一:（1题）（2题）（3题）×√×例1已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB证明：∵E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC∴EB=EC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）ACEB1234F∴∠EBC＝∠ECB（等边对等角）ABCDE1、如图在△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若BC=3厘米，则ＢＤ＋ＤＥ＝（）A、2B、3C、4D、5B2、如图：BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于点E，且OE平分∠AOB.求证EA=EB•反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？B结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.自学探究三：证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．角平分线的性质2角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）点P在∠BAC的内部；（2）PM⊥ABPN⊥AC；（3）PM=PN作用：判断点是否在角平分线上的依据.符号语言：∵PM⊥ABPN⊥ACPM=PN∴点P在∠BAC的角平分线上∴∠1=∠2CBMAPND12所以：角的平分线可以看作是的集合在角的内部到角两边距离相等的所有点基础题1•如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BD是三角形的一条角平分线，交AC于点D，AD=2.2,AC=3.7,则点D到AB边的距离是。DBCAE1.5•如图AB//CD，点P到ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ的距离相等，则∠Ｐ＝_____.BADOPE已知：如图，，，垂足分别是D、E，PD=PE，OAPDOBPEBOPAOP30BOPAOP则=___________则301、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等ABCPMNDEF证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM为△ABC的角平分线∴PD=PE同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等用一用（1）例1.求证:三角形三条角平分线交于一点.已知:△ABC中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线.求证:AD、BE、CF交于一点.ECAFDB、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等，问，理论上有几个地点可作为仓库的位置？3.已知:△ABC中，D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E,EF⊥AB于F,EG⊥AC交AC的延长线于G.求证:BF=CG.CAFEDBG已知：如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD求证：∠BAP+∠BCP=180°BAPDCN12M方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。（四）达标测试1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为㎝。3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，PA=2.Q是边OM上的一个动点,则线段PQ的最小值（）A．1B.2C.3D.4AMONPQ2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是∠ABC的，AE+DE=。1.5角平分线6cmB4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD21DAPOEB第4题图D课堂小结1、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.2、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.3、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.