一次函数与反比例函数[1].第1讲.一次函数及其性质.教师版

2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page1of17板块考试要求A级要求B级要求C级要求一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题一、函数与变量常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：2πSr，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量；“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)yx中，2x时，1y；4x时，1y．知识点睛中考要求第一讲一次函数及其性质2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page2of17函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30St，2SR．⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：函数关系式是等式．例如4yx就是一个函数关系式．函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：24yxx是自变量，y是x的函数．函数关系式在书写时有顺序性．例如：31yx是表示y是x的函数，若写成13yx就表示x是y的函数．求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如1yx中，自变量x受到开平方运算的限制，有10x即1x；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s与时间t的关系式为80st；这里t的实际意义影响t的取值范围t应该为非负数，即0t．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．二、一次函数及其性质知识点一一次函数的定义一般地，形如ykxb（k，b是常数，0k）的函数，叫做一次函数，当0b时，即ykx，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b，0k时，ykx仍是一次函数．⑶当0b，0k时，它不是一次函数．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page3of17⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二一次函数的图象及其画法⑴一次函数ykxb（0k，k，b为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取00，，1k，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b），通常取0b，，0bk，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式ykxb的点xy，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标xy，满足ykxb，也就是说，直线l与ykxb是一一对应的，所以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l：ykxb，有时直接称为直线ykxb．知识点三一次函数的性质⑴当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；⑵当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．知识点四一次函数ykxb的图象、性质与k、b的符号⑴一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象OxyyxOOxyyxOOxyyxO性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小⑵一次函数ykxb中，当0k时，其图象一定经过一、三象限；当0k时，其图象一定经过二、四象限．当0b时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数ykxb的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page4of17板块一函数及其自变量取值范围【例1】判断下列式子中y是否是x的函数．⑴22(35)yx⑵315yx⑶12yx⑷8yx【解析】⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y有唯一值与x对应”．【补充】判断下列式子中y是否是x的函数．⑴22(21)yx⑵3yx⑶2yx⑷3yx【解析】⑴、⑶不是，⑵、⑷是．“y有唯一值与x对应”．【例2】（★）（08四川广安）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）.重点：了解和理解函数的定义以及灵活运用函数的判定，同时注意函数的自变量取值范围的判定；一次函数的定义及其判定，一次函数的性质难点：一次函数与反比例函数的综合运用，以及一次函数和反比例函数的实际运用重、难点例题精讲yx0Dyx0Ayx0CyOBx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page5of17【解析】C；【补充】(04年山东烟台中考题)下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是()OxyOxyOxyyxOABCD【解析】y有唯一值与x对应，选择D.【例3】求下列函数中自变量x的取值范围：⑴3231yxx⑵223xyx⑶72yx⑷2373yxx⑸243xyx⑹211yx【解析】⑴x为任意实数；⑵3x；⑶由720x≥，解得72x≤；⑷由230730xx≥≥，解得3723x≤≤；⑸由2403xx≥，解得2x≥且3x；⑹0x，且1x．【补充】⑴（09湖北武汉）函数21yx中自变量x的取值范围是（）A．12x≥B．12x≥C．12x≤-D．12x≤⑵函数11yx的自变量x的取值范围是．⑶（08北京）在函数121yx中，自变量x的取值范围是．【解析】⑴B；⑵1x；⑶12x；【例4】等腰ABC周长为10cm，底边BC长为cmy，腰长为cmx。（1）写出y关于x的函数关系式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围。【解析】（1）由题意，得x10xy,即102yx（2）因为x、y为线段，所以0x，0y。所以1020x2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page6of17所以05x因为x、y为三角形的边长，所以xxy，即2102xx，所以2.5x所以2.55x（3）由2.55x，得5210x所以1025x，所以01025x因此，y的取值范围是05y【点评】此题是一道整个初中阶段的易错题目，同时也是初中阶段的常考易考题目【例5】根据你的理解写出下列y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.⑴某人骑车以6/ms是速度匀速运动的路程y与时间x，解析式：，定义域：；⑵正方形的面积y与边长x，解析式：，定义域：；⑶等腰三角形的底角的度数y与顶角的度数x，解析式：，定义域：；【解析】⑴6yx，0x≥；⑵2yx，0x；⑶1802xy，0180x板块二一次函数的判定【例6】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）15xy（2）5xy（3）21yx（4）35xy（5）212yxxx（6）21xy【解析】答案：（2）是正比例函数，（1）（2）（4）是一次函数（2）符合正比例函数的定义，（1）和（4）可以整理成一次函数的一般形式，而且正比例函数也是一次函数。【例7】函数2211mymxmn在条件下，y是x的一次函数；在条件下，y与x成正比例函数．【解析】1m时该函数为一次函数；1m且0n时该函数为正比例函数；【补充】函数已知28(3)1mymx，当m为何值时，y是x的一次函数？【解析】依题意，得：28130mm，∴33mm∴当3m时，y是x的一次函数【补充】已知2(1)1ymxm，当m取何值时，y是x的正比例函数？2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page7of17【解析】∵正比例函数(0)ykxk，所以21010mm∴1m且1m∴当1m时，y是x的正比例函数。【例8】已知y是z的正比例函数，z是x的一次函数.求证：y是x的一次函数.【解析】⑵根据题意可得：1ykz(10k)，2zkxb(2k、b是常数，20k)，则12121()ykkxbkkxkb.根据题设，12kk、1kb是常数，且120kk，故y是x的一次函数.板块三函数信息图像及一次函数图像【例9】打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时(洗衣机内无水)，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系，其函数图象大致为()OxyOxyOxyyxOABCD【解析】选择D.【例10】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是()OxyOxyOxyyxOABCD【解析】选择B【例11】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第1讲·教师版page8of17用15分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是()Oxy2040(分)(米)900Oxy2040(分)(米)900Oxy2040(分)(米)900900(米)(分)4020yxOABCD【解析】选择D【例12】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为()tsOtsOOsttsOABCD【解析】选择A，当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的34，所以选择A，C的描述比例不符合.【例13】在坐标系中画出下列函数的图象.⑴2yx；23yx；21yx；⑵12yx；122yx；122yx2010年·