【2018年秋季课程苏教版高二数学】《选修1-1：抛物线的标准方程和几何性质》教案

适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点抛物线的标准方程和几何性质教学目标1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点)2．掌握抛物线的标准方程和几何性质．(重点)教学重点1．抛物线标准方程与定义的应用．(难点)2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)教学难点1．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点)2．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)【教学建议】本节课是在学习了椭圆和双曲线之后，学生在学习方法上已经有了一定的经验，所以教师可以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程的推导过程。自己来总结几何性质。【知识导图】教学过程1.教材整理抛物线的标准方程2.教材整理1抛物线的几何性质阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.3.抛物线标准方程的推导4.P的几何意义阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图象性质焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下考点1抛物线的标准方程和几何性质二、知识讲解一、导入考点2抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为12ABxxp，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，002ABp称为抛物线的通径．类型一求抛物线的焦点及准线(1)抛物线2230yx的焦点坐标是_______________准线方程是________．(2)若抛物线的方程为20yaxa，则抛物线的焦点坐标为_______，准线方程为______．【解析】(1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝32x，∴2p＝32，p＝34，p2＝38，焦点坐标是38，0，准线方程是x＝－38.(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay，当a0时，则2p＝1a，解得p＝12a，p2＝14a，∴焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.当a0时，则2p＝－1a，p2＝－14a.∴焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a，综上，焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.【答案】(1)38，0x＝－38；(2)0，14ay＝－14a求抛物线的焦点及准线步骤1．把解析式化为抛物线标准方程形式．三、例题精析例题12．明确抛物线开口方向．3．求出抛物线标准方程中p的值．4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．类型二：求抛物线的标准方程根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y轴对称且过点(－1,－3)；(2)过点(4,－8)；(3)焦点在x－2y－4＝0上．【精彩点拨】(1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．【解析】(1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点()－1，－3，所以1＝m·(－3)，即m＝－13，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p0)或x2＝－2p′y(p′0)，将点(4，－8)的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.例题2(3)由x＝0，x－2y－4＝0，得x＝0，y＝－2，由y＝0，x－2y－4＝0，得y＝0，x＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.【总结与反思】求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程．(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：222220,20,20,20ypxpypxpxpypxpxp进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为20yaxa；当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为20xaya，再根据条件求a.类型三抛物线的标准方程及定义的应用(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．【解析】(1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝5.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为72，即PA＋PF的最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．【总结与反思】(1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．例题3类型四：抛物线的几何性质(1)已知双曲线1C：222210,0xyabab的离心率为2.若抛物线22:20Cxpyp的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．【自主解答】(1)∵双曲线1C:222210,0xyabab的离心率为2，2223cabbaaa，∴双曲线的渐近线方程为30xy，∴抛物线2C：220xpyp的焦点0,2p到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为216xy.(2)不妨设抛物线的方程为22ypx，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝12p，∴2111124222222OABSABOFpppp所以抛物线的方程为242yx【答案】(1)216xy；(2)242yx例题4类型五抛物线的最值问题例题求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.【精彩点拨】本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝|4t－3t2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．【解析】法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，它到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝|4t－3t2－8|5＝|3t2－4t＋8|5＝223143853t＝223120353t＝2324533t∴当t＝23时，d有最小值43.法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由y＝－x2，4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43.∴最小距离为－8＋435＝2035＝43.例题1类型六抛物线的焦点弦已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝52p，求AB所在的直线方程．【精彩点拨】求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，AB＝x1＋x2＋p＝52p求解．【解析】由题意可知，抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋p2，BF＝dB＝x2＋p2，于是AB＝x1＋x2＋p＝52p，∴x1＋x2＝32p.当x1＝x2＝p2时，AB＝2p52p，故直线AB与x轴不垂直．设直线AB的方程为2pykx由222pykxypx，222221204kxpkxkp22122222322pkpkxxpkkk故直线AB的方程为222pyxxp或222pyxxp类型七直线和抛物线的位置关系求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．例题6例题7【教学点拨】当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．【解析】若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.由x＝0，y2＝2x，得x＝0，y＝0，∴直线x＝0与抛物线只有一个公共点；若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，有x＝12，y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝12，即方程为y＝12x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.1.设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是________．2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.4.直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A，则实数b的值为________答案与解析1.【答案】y2＝8x【解析】由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.2.【答案】a＝－18.【解析】抛物线的标准方程为x2＝1ay.则a＜0且2＝－14a，得a＝－18.3.【答案】10【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.4.【答案】-1【解析】由y＝x＋b，x2＝4y，得x2－4x－4b＝0，因为直线l与抛物线C相切，所以Δ