19.1.2-矩形的判定

2矩形的判定2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生分析问题的能力.1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.四边形平行四边形两组对边分别平行一个角是直角∟矩形四边形集合平行四边形集合矩形集合定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1)边：对边平行且相等(2)角：四个角都是直角(3)对角线：相等且互相平分ABDC∵矩形ABCD,∴ABCD，ADBC．∵矩形ABCD∴AC=BD且OA=OB=OC=OD.∵矩形ABCD∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．O有一个角是直角的平行四边形是矩形.你还有其他的判定方法吗？□ABCD∠A=90°四边形ABCD是矩形矩形的判定定理1：（定义法）由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想:“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”得到的图形是什么图形呢？和你的同桌交换一下，看看是否成了一个矩形.作一个两条对角线相等的平行四边形证明：OABCD在ABCD中，AB=DC,BD=CA,AD=DA，∴△BAD≌△CDA.∴∠BAD=∠CDA.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠CDA=180°,∴∠BAD＝90°,∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）.已知:四边形ABCD是平行四边形,AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.OABCD,AOCOBODOACBDABCDAC=BDABCD是矩形推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形.四边形ABCD是矩形木工师傅检查所做的门窗是否是矩形常用什么方法？为什么？提示：木工师傅靠测量门窗的对角线是否相等来判断所做的门窗是否是矩形.因为对角线相等的平行四边形是矩形.【跟踪训练】ABDCOEFGH如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.【例题】证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分)，∵AE=BF=CG=DH,∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).∵EO+OG=OF+OH,即EG=FH,∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).ABDCOEFGH如图□ABCD中,∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗?ABCDO12【跟踪训练】解:四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,DO=BO(平行四边形的对角线互相平分),又∵∠1=∠2,∴AO=BO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).归纳：有三个角是直角的四边形是矩形.有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD,求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形,DBCA∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.四边形ABCD是矩形∠A=∠B=∠C=90°DBCA∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.矩形的判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形.∠A=∠B=∠C=90°□ABCDAC=BD□ABCD∠A=90°ABCD是矩形四边形ABCD是矩形ABCD是矩形OABCD(1)(2)(3)归纳（1）对角线相等的四边形是矩形.（2）有一个角是直角的四边形是矩形.（3）四个角都是直角的四边形是矩形.（4）对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形.（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.1.判断正误【跟踪训练】A.∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°B.ABCD,AB⊥ADC.AO=BO,CO=DOD.AO=BO=CO=DOCABCDO2.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）3．矩形的两条对角线所夹的钝角为120°，短边长为5cm，则其对角线长为___________．4.已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，分别添加下列条件之一：①∠ABC=90°;②AC⊥BD；③AB=BC;④AC平分∠BAD;⑤OA=OD.能使四边形ABCD是矩形的条件是___________.（填序号）10cm①或⑤5.已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△AOB是等边三角形∴OA=OB，∴AC=BD，∴□ABCD是矩形.在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm,∴BC=228443(cm),∴S□ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2).33ABCDO1.下列四边形中不是矩形的是（）A.有三个角是直角的四边形B.四个角都相等的四边形C.一组对边平行且对角相等的四边形D.对角线相等且互相平分的四边形C2.如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F,连接CE,已知△CDE的周长为24cm,则矩形ABCD的周长是_____cm.【解析】易得EF垂直平分AC,∴EA=EC.∵△CDE的周长为24cm,∴DC+DA=24cm,∴矩形ABCD的周长为48cm.答案：48证明：∵AO=BO,CO=DO（圆的半径相等）,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AB=CD(圆的直径相等）,∴四边形ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.3．如图，AB,CD是⊙O的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论．4.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB,BC和AD,CD分别相交于点B,D．（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；（2）试用理由说明你的猜想．【解析】（1）相等且互相平分(2)理由:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,∠PCA的平分线∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠ABC=90°同理∠ADC=90°∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线∴∠BCA+∠DCA=90°∴∠BCD=90°∴四边形ABCD是矩形∴AC=BD且AC,BD互相平分.