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1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.1.角的平分线上的点到角的两边的距离________.2.如图12-3-1，OP平分∠AOB，OQ平分∠POB，则∠BOQ=____∠AOQ.3.如图12-3-2，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是()A．4B．5C．6D．7相等Ａ4.如图12-3-3，在△ABC中，∠B＋∠C＝100°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°Ｂ角的平分线及其性质如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线AC，BC，AB，垂足分别为F，G，H．∵BD是△ABC中∠ABC外角的平分线，点P在BD上，∴PG=PH(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)．同理PF=PG，∴PF=PG=PH.即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是()A.ODOEB.OD＝OEC.ODOED.不能确定Ｂ1.用尺规作角平分线的依据是()Ａ.AASＢ.SSSＣ.SASＤ.ASA2．如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为()A．7．5B．8C．15D．无法确定ＢＡ3.如图12-3-9，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于()A．10B．7C．5D．44.如图12-3-10，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为()A.1B.2C.3D.4ＣＤ5.如图12-3-11，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论错误的是()A.PC＝PDB.OC＝ODC.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PCＤ6.如图12-3-12，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为＿＿＿＿.65°7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝3cm，BD＝5cm，则BC＝＿＿cm.88.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，则△ABC的面积是＿＿＿．10.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图12-3-16，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为E，F.求证：OE＝OF.证明：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，AD＝CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS).∴∠ABD＝∠CBD.∴BD平分∠ABC.又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF.11.如图12-3-17，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为点A，C.求证：∠ADB＝∠CDB.证明：∵BD平分∠ABC，PA⊥AB，PC⊥BC，∴PA＝PC.∵∠ABP＝∠CBP，∴∠APD＝∠CPD.又∵PD＝PD，∴△ADP≌△CDP(SAS).∴∠ADP＝∠CDP.∴∠ADB＝∠CDB.12.如图12-3-18，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）写出AB+AC与AE之间的等量关系并证明．（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠E=∠DFC=90°.∴△BDE与△CDF均为直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,BE=CF,∴△BDE≌△CDF(HL).∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF(HL).∴AD平分∠BAC.（2）解：AB+AC=2AE．证明：由(1)知△ADE≌△ADF，∴AE=AF.∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.