2.1数列极限函数极限

第二章极限与连续定义:定义在正整数集上的函数)n(fxn按,3,2,1顺序依次排列的一列数,x,,x,xn21(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).记为}x{n.1.数列若存在正数M,对所有的n都满足,则称数列Mxn||}{nx为有界数列,否则称为无界数列.2.1.1数列的极限2.1极限概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：播放——刘徽2.概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积n23nA,,,,,321nAAAAS.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放3.数列极限的定义.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn通过上面演示实验的观察:.lim,}{,lim,}{,,},{:不存在或发散否则称数列记收敛于则称无限趋于一个常数时当设数列直观地nnnnnnnnaaaaaaaana例1:观察下列数列的变化趋势10,10,10,)1(1|q|)4(nnqy21)3(nxn1,-1,1,-1,(2)发散的情况:2)1(1limnn不确定)1(limnn(1)收敛数列的极限必唯一.(极限的唯一性)(2)有极限的数列是有界数列.(有界性)4.收敛数列的性质例2:求下列数列的极限nnnnnnnnnn523lim)3(231lim)2(1lim)1(2222.1.2函数的极限.)x(f,)f(Dx的变化趋势函数中变化时在考虑x的变化趋势有:x:x记xx00xx,xx000xx:,xx,xx记000xx:,xx,xx记Xx:统一简记为.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A..0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:定义2.2：.)(lim)()(,)(AxfxxfAAxfxxx时的极限，记为当为函数，则称一个确定的常数无限趋近于时无限增大当xxarctanlim例：211xlim)2(lim(1)21x22xxx?)()(00Axfxxxxf时，义，观察的某个去心领域内有定在点例:二、自变量趋向有限值时函数的极限.)(lim)()(,)()(00000AxfxxxfAAxfxxxxxxfxx时的极限，记为当为函数，则称一个确定的常数无限趋近于时无限趋近当义，的某一去心领域内有定在点设函数定义2.3：3.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;xx0记作,0xx从右侧无限趋近;xx0记作yox1xy112xy左极限右极限.)0()(lim00AxfAxfxx或.)0()(lim00AxfAxfxx或不存在则若)x(flim),x(flim)x(flim)1(000xxxxxx不存在且不为无穷大则)x(flim),x(flim)x(flim)2(xxx000xx,xx:xx包含两个过程x,x:x包含两个过程A)0x(f)0x(fA)x(flim00xx0A)x(flim)x(flimA)x(flimxxx.lim0不存在验证xxxyx11oxxlimxxlim0x0x左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例证1)1(lim0xxxlimxxlim0x0x11lim0x例3：观察下列函数的变化趋势clim)1(0xxxlim)2(0xx)1x2(lim)3(1xx1y)4(x1lim1x1;x1lim0xx1lim0xx1ey)5(x10xelim0x10xelimx1lim0x不存在x10xelim)(lim),(lim),(lim),(lim),(lim),(lim,2x1-x12x11-x1x1/21xxf(x):42112xfxfxfxfxfxfxxxxxx求例.x,x)x(f,)x(flim00xx0的表达式无关而与远离附近的表达式有关在只与时求例5：求下列极限23lim)1(2xxx21lim)2(22xxxxxxxx2lim)3(2320x____)(lim,0,0,1)(____)(lim,0,0,1)()4(00xfxxxxfxfxxxxfxx则则10三、小结函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx