2.1曲线与方程课件(三个课时)修改

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程第一课时yxbk222()()xaybr复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.x-y=0点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线l含有关系：lx-y=0xy0（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l直线条件方程∴说直线l的方程是0xy,又说方程0xy的直线是l.坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考?M(x,y)直线L上的点坐标与方程x-y=0的解一一对应圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:222()()xaybr思考?xy.C（1）圆C上的点的坐标都是方程的解;222()()xaybr（2）方程的解为坐标的点都在圆C上。222()()xaybrM(x,y)圆C上的点的坐标与方程的解一一对应222()()xaybr曲线上点的坐标与方程的解一一对应.(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.定义:2.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:说明:M(x,y)1.曲线上点的坐标与方程的解一一对应.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”（纯粹性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”（完备性）.由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.由曲线方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上充分必要条件是f(x0,y0)=0．判断点P(3,-4)，Q(-2,1)是否在曲线上．2225xy解：把点P(3,-4)代入曲线方程，得2225xy223(4)25故点P(3,-4)在曲线上；把点Q(-21)代入曲线方程，得2225xy22(2)125故点Q(-21)不在曲线上．纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；完备性判断：以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)．中线AO(O为原点)的方程是x=0吗？解：纯粹性判断：中线AO在y轴上，所以中线AO上的点都是方程x=0的解；完备性判断：方程x=0的解为坐标的点不全在中线AO上，如点(0,-1)或(0,4)等．故中线AO的方程不是x=0．ABCO应为中线AO的方程x=0(0≤y≤3).例1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0例画出下列方程表示的曲线：（1）；（2）x－|y|＝0；（3）x2－2x＋y＝0(y＞0).10yx+=xyO(1)xyO(2)xyO21(3)例2:证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k．证明：(1)如图，设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点，则|x0||y0||x0||y0|=k故(x0,y0)是方程xy=k的解．(2)设M的坐标(x0,y0)是方程xy=k的解，则x0y0=k即x0y0=k即|x0||y0|=k故M(x0,y0)是轨迹上的任意一点．由(1)、(2)可知xy=k是与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程．M(x0,y0)练习1已知方程的曲线经过点A(0,5/3)和B(1,1)，求a，b的值．222axby解：因为A,B两点在曲线上，222axby所以A,B两点的坐标满足方程222axby即225023ab22112ab故a=16，b=9．练习2:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是CB.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部D例:y＝|x|C练习3:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()2)2()3(22yxA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习4:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.0422nymx)1,2(),2,1(BA4545课外练习:1.“曲线C上的点的坐标都是方程(,)fxy=0的解”是“方程(,)fxy=0是曲线C的方程”的（）条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既非充分也非必要2.△ABC的顶点坐标分别为(4,3)A，(2,1)B，(5,7)C，则AB边上的中线的方程为___________.320(1)xyx≤≤5C2.1.2求曲线的方程（1）第二课时2.1曲线与方程方程的曲线和曲线的方程:复习回顾⑴曲线上的点的坐标都是方程的解;f(x,y)=00xy在平面上建立直角坐标系:点一一对应坐标(x,y)曲线曲线的方程坐标化研究一、二、坐标法形成解析几何迪卡尔平面解析几何研究的主要问题是：1.求曲线的方程;2.通过方程研究曲线的性质.⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程.“数形结合”数学思想的基础M(x,y)问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?解:∵7(1)23(1)ABk,∴所求直线的斜率k=12又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办──需要掌握一般性的方法新课探究运用直线方程的知识来求.问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|需要尝试、摸索先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy(Ⅰ)化简⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点的坐标都是方程270xy的解;证明法二:一般性的方法;)136(5)1()28()1()1(121212121211yyyyyxAM,)136(5)7()24()7()3(11121212121211BMAMyyyyyxBM即点M1在线段AB的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.点M1到A、B的距离分别是这种求曲线的方程的方法叫：直接法（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即:x+2y1－7=0x1=7－2y1由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐标，及相关点的坐标;二、(限)找条件，由条件(代)列方程;三、化简方程.说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.以上步骤用一句话概括就是:建设现．．．(．限．)．代化．．.方法小结注:这种求轨迹方程的方法叫做直接法.直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得到例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式3）代换4)化简5）审查(0,2)AMB1）建系设点因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，M(x,y)通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.纯粹性判断：曲线上的点的坐标都是这个方程的解；完备性判断：以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(-2,0)，C(2,0)．中线AO(O为原点)的方程是x=0吗？解：纯粹性判断：中线AO在y轴上，所以中线AO上的点都是方程x=0的解；完备性判断：方程x=0的解为坐标的点不全在中线AO上，如点(0,-1)或(0,4)等．故中线AO的方程不是x=0．ABCO应为中线AO的方程x=0(0≤y≤3).练习1已知方程的曲线经过点A(0,5/3)和B(1,1)，求a，b的值．解：因为A,B两点在曲线上，所以A,B两点的坐标满足方程即故a=16，b=9．1.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以3yx|AD|22化简得:x2+y2=9(y≠0)这就是所求的轨迹方程.解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.1.直接法:求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,y之间的关系,构成F(x,y)=0即可.①直接法②定义法③代入法④参数法求轨迹方程的常见方法:2.定义法：（待定系数法）利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．（下一节重点讲）3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,