带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)

§6、带电粒子在磁场中的运动第三章磁场（磁聚焦）当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同——对称性带电粒子在直边界磁场中的运动xyOv0例、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圆周上，如图所示。电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速圆周运动2000vmvevBmr=reB解1:xyOv0O1O2O3O4O5On2220112()(1)()422mvSrreBmin即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程x2+(r－y)2=r2。222202212()(1)422mvrSreB解2:设P(x，y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x轴夹角为，则由图可知：x=rsin，y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线1所示。xyOv01θP(x,y)Orr两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：圆形磁场的两个特殊规律磁聚焦和磁发散现象当磁场圆半径与轨迹圆半径相等时,存在两条特殊规律:1、从磁场边界上以相同速度平行入射的相同粒子,又会聚焦于磁场边界上的同一点。2、反之,从磁场边界上某点向四周发射速率相同的粒子,其出射方向都平行于入射点的切线方向.磁聚焦概括：平行会聚于一点（磁聚焦）一点发散成平行(磁发散）例1、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）若这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。xyRO/Ov带点微粒发射装置C解析：(1)带电微粒所受重力和电场力平衡。由Eq=mg，可得E=mg/q，方向沿y轴正方向。带电微粒进入磁场后，将做圆周运动。如图（a),轨迹半径为r=R，由Bqv=mv2/r得，B=mv/qR,方向垂直于纸面向外。xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)(2)这束带电微粒都通过坐标原点。如图（b)所示，从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，圆心位于其正下方的Q点，设微粒从M点离开磁场．可证明四边形PO’MQ是菱形，则M点就是坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点0．xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)MxyRO/Ov带点微粒发射装置CPQr图(c)(3)带电微粒在y轴右方(XO)的区域离开磁场并做匀速直线运动．靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向X轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以，这束带电微粒与X轴相交的区域范围是X0．例2、（2009·海南·T16）如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。ABCDxyOv0解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ（2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹角为θ的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中圆弧Ap的圆心为O，pq垂直于BC边，圆弧Ap的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，p点的坐标为(x，y)，则x=asinθ，y=acosθ。因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内，p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。例3、如图所示，在xOy平面上－HyH的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远外以相同的速率v0沿x轴正向平行地向y轴射来，试设计一个磁场区域，使得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点O；(2)这一片电子最后扩展到－2Hy2H范围内，继续沿x轴正向平行地以相同的速率v0向远处射出。已知电子的电量为e，质量为m，不考虑电子间的相互作用。xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0对称思想解析：本题考查磁聚焦和磁扩散的应用．首先分析在第二象限的磁场情况，为使电子汇聚于O点，由磁聚焦原理可知，磁场圆应与x轴相切于o点，建立以01为圆心，半径为R的磁场区域，所有平行于X轴的电子以运动半径R=mv/eB进入磁场区域，必汇聚于0点．为使电子不过Y轴，边界H的电子从A点进入磁场，在0点并与Y轴相切出磁场，易得到R=H．不难得到第二象限最小的磁场区域如图B2=mv/eH，面积为S2=(-2)H2/2同理可知在第一象限：BI=mv/2eH，方向垂直纸面向里，面积为SI=2(一2)H2．在第三象限：B3=mv/eH，方向垂直纸面向外，面积为S3=(-2)H2/2．在第四象限：B4=mv/2eH，方向垂直纸面向外，面积为Siv=2(一2)H2．例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E。在坐标原点O处有一放射源，可以在xOy平面内向y轴右侧（x0）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为R，电子电量为e，质量为m。不计重力及阻力的作用。（1）求电子射入磁场时的速度大小；（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，求它到达y轴所需要的时间；（3）求电子能够射到y轴上的范围。xyOEO′R例、(2008·重庆高考)如图为一种质谱仪工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点。CM垂直磁场左边界于M，且OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比荷为q/m的离子都能会聚到D，试求：（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；（3）线段CM的长度。解：（1）如图所示，设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由R=d，qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd，磁场方向垂直纸面向外。（2）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t由vcosθ=v0，得v=v0/cosθ。R′=mv/qB=d/cosθ。设弧长为s，t=s/v，s=2(θ+α)R′离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=2πm/Bq，得：t=0)(2v(3)CM=MNcotθ)sin(dMN由正弦定理得=sinRR′=mv/qB=d/cosθ。以上3式联立求解得CM=dcotα例、如图，在直角坐标系xOy中，点M(0，1)处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为–q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿－y的方向通过点N(3，0)。（1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；（2）若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点(1k1k20)，求二者发射的时间差。MOabcN123x(mv0/qB)y(mv0/qB)12v0例、（1975IPHO试题）质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于R点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。xyvPRa磁场OarbA(x,y)解答：在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用作半径为r的圆周运动：设半径为r的圆轨道上运动的粒子，在点A(x，y)离开磁场，沿切线飞向R点。由相似三角形得到：同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程：v2qvB=mrmvrqB=xy－bya－xx2+(y－b)=r2y=r2－x2x(a－x)消去(y-b)，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：例、(第二十届全国预赛试题)从z轴上的O点发射一束电量为q、质量为m的带正电粒子，它们速度方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度的大小都等于v。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M，M点离开O点的距离为d。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。2mvnBqdn=1，2，3，…zOM磁透镜谢谢听讲！