带电黑洞的隧穿辐射

邓高明吴双清2014.07.08郑州3.共性引力中带电转动AdS黑洞的隧穿辐射4.结论和展望1.工作背景和动机2.共性引力中中性转动AdS黑洞的隧穿辐射工作背景和动机1.1共性引力简介作为一种高阶导数理论，共形引力（ConformalGravity）具有重整化、幺正性等特点，其更有吸引力的性质之一是它与Yang-Mills规范理论有很多相似性。“ConformalinvariantfourthordertheoryofgravityhasrecentlybeenadvancedasacandidatealternativetothestandardsecondorderEinsteintheory.”[PhilipD.Mannheim，arXiv:gr-qc/9407010]1.2黑洞及霍金辐射吕宏老师等人从如下Lagrangian作用量出发①、尝试对宇宙加速膨胀作出解释；[arXiv:1208.4972]②、研究星系旋转曲线[arXiv:1211.0188]和近日点进动[PRD86(2012)084008]以及光线偏折等问题；应用广泛121123eCCF，L得到共形引力中转动AdS黑洞解[JHEP1302(2013)139]。黑洞热辐射是由于真空涨落引起的量子隧穿过程。真空涨落而不断产生的虚的正、反粒子对摆脱不了三种命运：①、自行湮灭；②、两个都被陷获进入黑洞；③、一个落进黑洞而另一个飞向远方；负能粒子进入黑洞，顺着时间进展穿过单向膜区到达奇点处，而正能粒子留在视界外实化后“逃逸”到无穷远。在无穷远处的观测者看来，一个正能粒子从黑洞中蒸发出来然后飞向了他，于是他认为黑洞不黑而是在辐射粒子。等价理解此过程：一个正能粒子逆着时间方向从奇点处出发穿过单向膜区到达黑洞表面，在那里被视界散射，再顺时飞向远方，即黑洞热辐射粒子的机制。1.3已有的测地线推导方法的不足与改进1.3.1缺陷和不足Schwarzschild黑洞：2222221dsdtdtdrdrrd，其中21Mr（1.3.1）。const20dsconst径向测地线11,drrdt无质量粒子情形分别对应出射粒子和入射粒子情形。“”符号声速与相速之间的关系粒子测地线000111=221grg。2pg①、两种粒子的测地线推导方法不统一；②、对有质量粒子测地线的处理过程与作用量变分原理相悖；③、推导过程中混杂使用相对论与非相对论定义；有质量粒子情形缺陷和不足1.3.2改进度规线元˙˙2mgxxL/PxL广义动量tPEPL˙˙/2mgxxH2(k=0,1)mkH有质量粒子的测地线吴双清老师等人对此不足作了改进，对有质量和无质量粒子的测地线作了新的、统一自洽的推导。有质量粒子测地线考虑s波近似的同时令或者(0)PL0m0k无质量粒子测地线缺陷和不足得以修正，统一自洽地推导有质量和无质量粒子的测地线方程工作动机：①、将黑洞霍金辐射推广到共形引力理论中进行研究；②、摆脱拖曳坐标变换的限制，在更一般坐标系中研究转动黑洞的隧穿辐射；③、统一推导有质量和无质量粒子测地线运动方程；共形引力中中性转动AdS黑洞的隧穿辐射222222(sin)()rrdrddsdtad2222222sin(1)()[]agrdtrad，其中222222cos1cosraga，，2222322()(1)21rragrrga，。（2.1.1）2.1共形引力中中性转动AdS黑洞解23g引入坐标变换222222221()(1)rragrragrdddrra。22222222()(1)1rrraragrdtdtdrgr，（2.1.2）新形式度规线元222222222(1)()singrradsdtdd2222222222()(1)(sin)()(1)[]rragrdtaddrragr。（2.1.3）2.2隧穿粒子的测地线方程2.2.1非拖曳系中粒子的测地线根据改进的测地线推导过程，从线元(2.1.3)出发通过拉格朗日分析，我们得到非拖曳系中有质量粒子的测地线方程。径向方程：222222222sin()1()1()(1)()[]rrraEraYaLrraragrW，角向方程：2222222222sin(1)1(1)sin()(1)(){[]}rraELgraYaWgrragr2222222122sin()()1{()[]}rraEraYaLraraWgr，222222(sin)()sinrrLaEWYmkP。其中2222()(1)YraEaLgr，（2.2.2）2222(1)rragrddtra。视界附近的出射粒子有如下的渐近行为22()()()2()rrrrrdrrrrdtra，（2.2.1）2.2.2拖曳系中粒子的测地线拖曳坐标系中的线元222222222222ˆ()sin()(1)rrdsdtdrraaragr222222222222222()()(1)()sin1[][]rrraragrdtdrdraagr。（2.2.3）线元(2.2.3)满足朗道对钟条件000000(,1,2,3)()()jijiggijxgxg。正如张靖仪老师在工作[JHEP0501(2005)055]中所提到的，量子力学中粒子隧穿通过势垒是一个瞬时过程，因而满足此条件对于我们探讨黑洞隧穿过程是必需的。事实上，除(2.1.2)式之外的其它坐标变换难以满足此条件。由改进的测地线推导方法，我们易得到拖曳系中有质量粒子的测地线2222222322222222222222sin1(1)()11()(1)()1(n)si{}[]rrrrragrrararragrmkPEraa。mP趋近于零，得到无质量粒子的测地线方程和令22222222222223sin111()(1)(1)(){}rrrararragrgrra。拖曳系中的粒子在事件视界附近具有类似于非拖曳系情形的渐近行为。2.3不同坐标系中多种方法计算隧穿几率2.3.1拖曳系中Parikh-Wilczek的半经典隧穿考虑粒子间的自引力，且在能量和角动量守恒条件下允222222222222()sin()(1)rrdsdtdrraaragr许黑洞质量涨落，拖曳坐标系中相应的线元222222222222222()()(1)()sin1[][]rrraragrddtdrraagr，（2.3.1）参量22222322()(1)()/()rragrMrag。假设一个能的粒子隧穿到黑洞外，则此转动AdS黑洞的能量和()M2()/()Mag。和量为角动量将分别变成考虑黑洞的热力学性质及视界附近出射粒子的渐近行为，写出作用量虚部ˇˇˇˇˇ2()()2dMdSdMag，ˇˇˇˇ2ˇ2()()2()rrrrra，，ˇˇˇ2ˇˇ()()1ImIm2()fiMrrBHMdMdMagSdrSrr，最终，粒子的隧穿几率为2Im~BHSSee。（2.3.2）注：共形引力中转动AdS黑洞的熵不同于Einstein引力理论中情形，它不等于视界面积的四分之一，但粒子的隧穿几率却仍与熵变有关。2.3.2非拖曳系中复路径隧穿方法忽略粒子间的自引力，写出Hamilton-Jacobi(HJ)方程22222()(1)[]trraIagrI()()IEtRrXJ，变量分离径向HJ方程22222222(1)()()[]rragrJraERrmrC，（2.3.4）求解()Rr，并考虑视界附近处的近似2222sinsin()()0()trraIIIIm。（2.3.3）变量分离常数()()rrrr，（2.3.5）由于出射粒子与入射粒子的共同作用，最终得到粒子的隧穿几率为2()~EJe。（2.3.6）注：由于背景时空的不同，此结果异于(2.3.2)式。3.1带电转动AdS黑洞解引进坐标变换(2.1.2)，共形引力中带电转动AdS黑洞解及对应的矢势分别写为222222222(1)()singrradsdtdd2222222222()(1)(sin)()(1)[]rragrdtaddrragr，（3.1.1）共形引力中带电转动AdS黑洞的隧穿辐射参量232222()()126rqrragrmrm。2sin()qrdtad，A（3.1.2）3.2带电有质量粒子情形的隧穿辐射3.2.1测地线方程利用改进后的测地线推导过程，根据拉格朗日分析，借助三个守恒的积分常数，可得到有质量粒子的测地线，其径向和角向方程分别为2222212222sin()()1()(1)()[]rrraraXaLrraragrW，E2222222222222222222sin111sin1sin1()(){[]}()()()()()[]rrrraLagrXWagrragraraXaLraraWgr，EE2222202(sin)sin[]rLaWXmkP。E其中2222()(1),XraaLgrqrEQ出射粒子在视界附近的渐近行为22()()()2()rrrrrdrrrrdtra，（3.2.1）2222(1)rragrddtra。（3.2.2）3.2.2带电有质量粒子情形的隧穿几率引入参数ˆq，其满足关系ˆqmq。设能量和电荷分别W和Q的粒子隧穿出黑洞，黑洞的质量、角动量以及电和()MW22222ˆ12ˆ12()()()agqMgaqW()QQ、。借助哈密顿22(,)222(,)ˆ(12)ImIm1()()ˆ(12){}firMQrMQagqdrSdMdQgaqr。WQWQ荷分别变为运动方程可以得到作用量虚部为借用视界附近的渐近行为和黑洞热力学定律，易积分得到22222()(,)ˆ(12)1()()ˆ(12)ImIm()[]firMQrMQagqdMdQgaqSdrrr，WQWQ(,)(,)1122BHBHSMQBHSMQdSS。WQ于是隧穿率为2Im~BHSSee。（3.2.3）3.3复标量粒子隧穿(Klein-Gordon分析)首先，写出Klein-Gordon方程2222211()(1)()rrraagreqrtrr22011(sin)(sin)0sinsinat。变量分离11,,,,()itimtreeXRr径向方程：222222211011()(){}[]rrddraamgreqrrRrR