(数学)数列通项公式的求法

数列通项公式的求法nanncos1注：①有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式,如：数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式解：变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，……110nna例2，求数列3，5，9，17，33，……解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……12nna可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成或者两个不同的数列（便不同）nna222nnan4a∴通项公式为：二、迭加法（又叫加减法，逐加法）当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式}{na解：∴两边相加得：……∴212aa323aa545aanaann1naan4321)1(21nnan434aa三、迭积法（逐积法）当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用迭积法进行消元例4、已知数列中，，，求通项公式。21annnaa31na解：由已知，，得：把1，2…，n分别代入上式得：21annnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaa}{na把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：∴21)1(321133nnnnaa2)1(32nnna练习:①用迭加法推导等差数列的通项公式②用迭积法推导等比数列的通项公式，，…，四、待定系数法：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，或是（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，或。}{nacbnancnbnsn2}{na1nnAqa)1,0(qAqAAqsnn例5．已知数列的前n项和为，若为等差数列，求p与。}{na}{nana解：∵为等差数列∴}{nandanddnnnasn)2(22)1(1213)1(2pnPPn∴∴5633012211adPPPdapdndnaan61)1(13)1(2pnppnsn例6．设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn}{nc解：设1)1(nnbqdnac132211121237242nnncabdqbqdabqdabqdaba五、已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：注意：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2()1(11nssnsannn2n例7．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）}{na}{na12nsn解：（1），当时由于也适合于此等式∴111sa2n54)]1(3)1(2[)32(221nnnnnssannn1a54nan（2），当时由于不适合于此等式∴011sa2n12]1)1[()1(221nnnssannn1a)2(12)1(0nnnannnsn322六、换元法当给出递推关系求时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。na例8，已知数列的递推关系为，且求通项公式。}{na121nnaa11ana解：∵∴121nnaa)1(211nnaa令∴则辅助数列是公比为2的等比数列∴即∴1nnab}{nb11nnqbbnnnqaa2)1(11112nna21111nnnnaabb例9，已知数列的递推关系为，且，，求通项公式。}{na4212nnnaaa11a32ana解：∵∴4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令则数列是以4为公差的等差数列∴∴∴……nnnaab1}{nb2)1(1211aabdnbbn241naabnnn21412aa22423aa23434aa2)1(41naann两边分别相加得：∴)1(2)]1(321[41nnaan3422naan例10，已知，，且，求。21a0na)(211Nnaaaannnnna解：∵∴即0211nnnnnaaaaa且2111nnaa2111nnaa令，则数列是公差为-2的等差数列因此nnab1}{nbdnbbn)1(1∴∴245)1(2111nnaannan452