球的表面积与体积及习题

正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图ha正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图h'h'侧面展开正棱锥的侧面展开图正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开h'h'正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．h'h'圆柱的表面积OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形S侧=2rl圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr122rlS侧=rl圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．)(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环S侧S侧=12'22rrl'rrl'rrl三者之间关系lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？r’＝rr’＝0•棱柱、棱锥和棱台的体积公式：v=当s=s'时为棱柱体积公式v=sh.当s=0为棱锥体积公式v=.13sh1''3hssss怎样求球的体积?h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积h实验：排液法测小球的体积hH小球的体积等于它排开液体的体积实验：排液法测小球的体积曹冲称象假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾圆面积公式的推导割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。已知球的半径为R,用R表示球的体积.AOB2C22.球的体积AOOROA球的体积定理:半径是R的球的体积R高等于底面半径的旋转体体积对比阅读材料以及思考题1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.8倍ABCDD1C1B1A1O钢球直径是5cm,.把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?用料最省时,球与正方体有什么位置关系?球内切于正方体2265150Scm全侧棱长为5cm两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.OEO1PODCBA两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上ABCDD1C1B1A1O·●●O●●BDA1OMR球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。3.球的表面积球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球(即球体):球面所围成的几何体。它包括球面和球面所包围的空间。半径是R的球的体积：球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：则球的体积为：OO球的表面积34133RsR定理半径是的球的表面积：球的表面积是大圆面积的4倍R1、地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的一半。(1)求地球的表面积和体积；(2)火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？V地球=43R3=43x63703=4x637021.08x1012(km3)S地球=4R25.10x108(km2)解：（1）（2）V火V地=43R火343R地3=R火3R地3=(12R地)3R地3=18S火S地=4R火24R地2=R火2R地2=(12R地)2R地2=14例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O证明:R(1)设球的半径为R,得:则圆柱的底面半径为R,高为2R.(2)222624RRRS圆柱全Q例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，求证：ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R=————。。(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的——倍。(2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的——倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。(5)若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为———。题组一:题组二:1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4лCD6л2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切。求球的表面积。1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4лCD6л●●C解：设四面体为ABCD，为其外接球心。球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。连结BA·●●O●●BDAMR1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4лCD6лD1C1B1A1DCBA解法2构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，选A2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，∽由EO1PODCBA2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么EO1PODCBA解题小结：1、多面体的“切”、“接”问题，必须明确“切”、“接”位置和有关元素间的数量关系，常借助“截面”图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。3、注意化整为零的思想的应用。4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，外接球半径等于其高的四分之三。小结：（1）有关球和球面的概念。（2）球的体积公式：球的表面积公式：（3）用“分割-求近似和-化为准确和”的数学方法推出了球的体积和表面积公式：（4）球的体积公式和表面积的一些运用。