奇异积分

奇异积分的数值计算1第一章简单奇异积分的计算1.1变量代换被积函数在求积区间的某一点无界或积分区间无界，这类积分称为奇异积分，前者也称为反常积分，后者也称为无穷积分.由于这类积分通常是用极限来定义,因此无法直接利用正常的求积公式.对于反常积分,有时可以对其奇性部分作变量代换或分部积分转化为正常积分;对于无穷积分,利用平移变换和反射变换可以化区间),0[上的积分,然后利用变换ttx1或txln,又可化为区间]1,0[上的积分,也即dtttfdtttftdxxf100102)ln(1)1(1)(具体计算时到底采用怎样的变换,要根据问题的需要,因为不适当的变换有可能引进函数的奇性，而合适的变换会有效地消去奇性.由于奇异积分是由极限定义的，对于)(xf在a附近的反常积分badxxf)(，也可以适当选取一个收敛于a的序列mr，例如),2,1(2marmm，上述反常积分用,2,1,)(mdxxfbrm来取代，这样在所选的区间上变为正常积分，于是可采用通常的求积公式在区间],[brm上求解，当mr充分靠近a时就可得到原积分的一个很好近似.但是,这样的近似计算往往由于mr控制得过快或过慢而出现数值不稳定现象.例1计算积分dxxx1041211.解这个积分的准确值为0.61370563…，我们采用两种方法.方法一：取dxxxImm1241211，对mI用复化辛卜生公式mS2.奇异积分的数值计算2方法二：作变量代换，化原积分为dtttI102314，对I利用复化辛卜生公式mS2.数值结果如表1-1所示.表1-1mImI123456780.6129411764705880.6136636475504980.6137030765110860.6137054796375290.6137056289413780.6137056382591550.6137056388413030.6137056388776840.4620439032598830.5776300092585310.6509065416344550.6970581479935530.7259452323716190.7439198224783000.7550429936867660.761891731404468从上表可以看出，积分变换比极限逼近收敛快得多，并且区间剖分越细，极限逼近的结果与真值相差越远.这说明极限逼近是数值不稳定的.对于无穷限的广义积分adxxf)(，也可类似地选取一个趋于无穷的序列mc，用正常的积分,2,1,)(mdxxfbcm来逼近无穷限的广义积分adxxf)(.1.2一般情形当被积函数相当复杂时，用上节讲的变量变换消去函数的奇性将是十分困难的.解决的办法是将反常积分的被积函数写成)()(xfx的形式,其中)(xf在],[ba上连续,)(x又奇性,而积分bakdxxx)(容易求得,2,1k.这样就可以如同对于振荡积分的奇异积分的数值计算3处理,对)(xf进行插值,从而形成带权求积公式:)()()(1kbankkxfAdxxfx其中bxxxan21.假定上述求积公式对任意1n次多项式精确成立，则kA必满足如下方程组：1,1,0,)(1nidxxxxAbainkikk若进一步假定0)(x，且上述求积公式对任意12n次多项式精确成立，则相应的求积公式称为奇异积分的高斯型求积公式.对于无穷积分也可建立类似的公式.利用正交多项式也可以给出一些标准的高斯型求积共好似的节点和系数,而无需求解待定系数方程组.下面列出三个这样的求积公式.当权函数为211x,而区间为]1,1[时,相应的正交多项式为第一类Chebyshev多项式,将n次Chebyshev的全部零点作为求积节点,可以得到如下求积公式:nknkfndxxxf11122)12(cos1)(其截断误差公式为]1,1[),()!2(22)(22nnnfnfE当权函数为xe，而区间为),0[时，相应的正交多项式为Laguerre多项式，将n次Laguerre多项式的全部零点kx作为求积节点，可以得到如下求积公式：)())(()!()(1220knkknkxxfxLxndxxfe上式称为Gauss-Laguerre求积公式，其截断误差公式为],0[),()!2()!()(22nnfnnfE当权函数为2xe，而区间),(时，相应的正交多项式为Hermite多项式，将n次Hermite多项式的全部零点作为求积节点，可以得到如下求积公式：奇异积分的数值计算4)())((!2)(1212knkknnxxfxHndxxfe上式称为Gauss-Hermite求积公式，其截断误差公式为：),(),()!2(2!)(2nnnfnnfE例2用适当的Gauss型求积公式计算奇异积分103xxdxI.解在区间[0,1]上建立Gauss型求积公式)()(1100iniixfAdxxfx可以计算出Gauss型求积公式的节点.当n=0,1,2,3时计算结果如表1-2所示.表1-2n12341.09126910.87531910.863501770.85751967以上构造了具有最高代数精度的求积公式，并且对于积分区间为无穷及被积函数有奇性时也作了初步讨论.由于Gauss型求积公式精度高，从而在实用时无需像牛顿-柯特斯公式那样将区间加细，但是由于Gauss型求积公式需要用正交多项式的零点作为节点，因此这在应用上受到了一定的限制.1.3Kontorovich奇点分离法对于一个积分来讲，如果它的被积函数在积分区间上处处连续，而它的某些阶导数在区间内的某点不是有界的.此时虽然仍可用数值积分公式来计算,但因余项的界已无法控制,以致这类数值积分公式无效.这表明如果被积函数)(xf的导数存在奇点，则会导致数值积分公式无效.Kontorovich奇点分离法是专门为解决以上问题的一类方法.其基本思想乃是作出与被积函数有同样特点的可积分成有限形式的初等函数.如从被积函数减去这个辅助函数,奇异积分的数值计算5便得到与其导数同为连续的函数.作为辅助函数,常取Taylor级数的部分和.这样求积公式则可应用于被积函数与辅助函数之差上.设所要求的积分为1,)()(0dxxgxxIba其中,0)(0xg且于0x的某个邻域内有一直到k阶的连续导数.利用恒等式)(!)()(!1)()()()(!)()(!1)()()(0)(00000)(0000xgkxxxgxxxgxgxgkxxxgxxxgxgkkk将被积函数)()()(0xgxxxf分解为)()()()()(210xfxfxgxxxf其中kkxxkxgxxxgxxxgxf)(!)()(!1)())(()(00)(100001)(!)()(!1)()()()(00)(00002xxkxgxgxxxgxgxxxfk所以2121)()(IIdxxfdxxfIbaba此处的1I已是正常的积分，因而可以数值积分.)(2xf有一直到k阶的导数存在,事实上有)}()(!)2()1(1)()!1()1()1({)()()1(1)1(0)1(10)(2kkkkkggkkkgkkxxxf其中诸j为0x与x之间的数.所以badxxf)(2可用含有))(()(kmfm的余项之数值积分公式来计算.例3计算10)1(xxdxI奇异积分的数值计算6解利用恒等式dxxxxxdxxxxIxxxxxx210102221111)1(1111)1(11上面右端第一个积分可直接算出,333733.1)1(1102dxxxx而第二个积分经化简后，为dxxxx1021利用3点Gauss型求积公式可求得它的值为-0.162601.最后求得73570.1I顺便指出，近年来国内、外学者们更经常采用样条方法来构作数值积分方法.特别地，拟插值样条算子常被应用于各种奇异积分，其中包括Cauchy主值积分和有限部分积分的数值积分.它们在奇异积分方程，特别在边界元方法中有着重要的应用.本章主要介绍了具有一个奇点的奇异积分的数值计算，在下一章将着重介绍具有多个奇点的奇异积分的数值计算方法.奇异积分的数值计算7第二章奇异积分的数值计算2.1基础知识在本章中我们将考虑下述形式的奇异积分badxxgxgI)()(][(2-1)的数值计算问题.区间],[ba为有限(后面将指出,给一些条件以适当说明,一下讨论对无限区间也是成立的);)(x是一个固定的权函数;)(xg具有下面的形式:imiixxfxg,)()()(1是),(ba内互不相同的m个点,].,[)(1baDxf此时,)(xg具有多个一阶奇点i.在)(xg具有多个一阶奇点时,为了保证奇异积分(2-1)有意义,则还须进一步要求权函数)(x在),(ba内任何闭区间上也是1D类函数.此时奇异积分(2-1)实际上就是若干个Cauchy主值积分之和.与(2-1)相同,也可采用记法dxxxfxfIbamiim11)()()(),,(（2-2）在接下来的几节内容中，将分别介绍内插型求积公式，Hunter-Gauss（HG）型求积公式，Paget-Elliott-Gauss(PEG)型求积公式等三种类型的求积公式.奇异积分的数值计算82.2内插型求积公式我们所要建立的求积公式基本上是属于内插型的，以下就开始对奇异积分（2-2）来讨论这种类型的求积公式.设在区间],[ba上给定了一组节点bxxxan21:(2-3)依照)(xf在上的值,作出其Lagrange插值多项式niiinxfxlxL1)()()(其中)(xli为Lagrange因子.即)()(,)()()()(1niiiiixxxxxxxxl用奇异积分),,,()(),,,(),,,(1111mnsmnssmnfQxflILI逼近奇异积分（2-2），于是有机械求积公式)(),,,(),,,(111iniimnmxfAfQfI（2-4）其中nidxxxxxxxAbamjijii,,2,1,))(()()()(1（2-5）),,,(1mnfQ称作求积和，iA称为求积公式的系数.求积公式（2-4）的系数用公式（2-5）来确定，在区间],[ba上节点选取的任意性使得这种求积公式也具有任意性.当节点组(2-3)中有等号出现时,称求积公式为闭形式的,否则称为开形式的.奇异积分的数值计算9显然，确定了节点组，由（2-5）计算的系数也就一一确定，这种有（2-5）决定系数的求积公式（2-4）称为内插型求积公式.引入三个记号:bazdxzxxxzxLxfxrxxbannnmmii,,)()()()3()()()()2()()()1(1n称为)(x关于权)(x的关联函数.当),(baz时,)(zn理解为Cauchy主值积分.在)(x关于权)(x与一切1nPf(次数不超过1n的多项式族)正交时,则直接称n为)(x的关联函数.这个函数在接下来的讨论中有重要的作用,在此,先指出其一个基本性质:为书写简单故约定,当),(baz时,)(zn表示)(zn在),(ba上的导数.iibaiiinxxxxldxxxxlxx)()(~,)(~)()((2-6)定理1对于内插型求积公式（2-4）有