5.3 定积分的换元法和分部积分法

第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解11．计算下列定积分：⑴3sin()3xdx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3xdx3sin()()33xdx3cos()3x[cos()cos()]333[cos(cos)]033。【解法二】应用定积分换元法令3xu，则dxdu，当x从3单调变化到时，u从23单调变化到43，于是有3sin()3xdx4323sinudu4323cosu42[coscos]33[cos(cos)]033。⑵132(115)dxx；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dxx1321(115)(115)5xdx21211(115)52x22111[]10(1151)(1152)211(1)101651512。【解法二】应用定积分换元法令115xu，则15dxdu，当x从2单调变化到1时，u从1单调变化到16，于是有132(115)dxx163115udu21611152u211(1)101651512。⑶320sincosd；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sincosd320coscosd4201cos4441[coscos0]42第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解21[01]414。【解法二】应用定积分换元法令cosu，则sinddu，当从0单调变化到2时，u从1单调变化到0，于是有320sincosd031udu130udu41014u14。⑷30(1sin)d；【解】被积式为3(1sin)d，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sind的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sincosdd，余下的22sin1cos，这样得到的2(1cos)cosd便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式30(1sin)d2001sinsindd200(1cos)cosd301(coscos)3331(coscos0)(coscos0)31(11)(11)343。【解法二】应用定积分换元法令cosu，则sinddu，当从0单调变化到时，u从1单调变化到1，于是有30(1sin)d2001sinsindd200(1cos)cosd121(1)udu3111()3uu1(11)(11)343。第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解3⑸226cosudu；【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：21coscos22uu，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数：21cos2cos2uu，使之可以换元成为基本可积形式：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式226cosudu261cos22udu226611(cos22)22duudu226611(sin2)22uu11[()(sinsin)]2262313()234。【解法二】应用定积分换元法令2ux，则12dudx，当u从6单调变化到2时，x从3单调变化到，于是有226cosudu261cos22udu226611(cos22)22duudu23611(cos)22uxdx311[()sin]2262x11[(sinsin)]232313()234。⑹2202xdx；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令2sinxu，当x从0单调变化到2时，u从0单调变化到2，且22222sin2cosxuu，2cosdxudu，使得第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解42202xdx202cos2cosuudu201cos222udu2200cos2duudu22001cos222uudu22001sin22uu1(sin0)222。⑺211221xdxx；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sinxu，当x从12单调变化到1时，u从4单调变化到2，且2222211sincossinsinxuuxuu，cosdxudu，使得211221xdxx224coscossinuuduu224cotudu224(csc1)udu24(cot)uu[(cotcot)()]242414。⑻2220axaxdx（0a）；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令sinxau，当x从0单调变化到a时，u从0单调变化到2，且2222222sinsinsincosxaxuauuau，cosdxaudu，使得2220axaxdx220sincoscosuauaudu2220sin24audu2201cos442audu2201(sin4)84auu第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解521[(sin20)]824a2116a。⑼32211dxxx；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令tanxu，当x从1单调变化到3时，u从4单调变化到3，且2222222secsectansec1tan1tandxuduuduuuxxuu2cossinuduu21sinsinduu使得32211dxxx3241sinsinduu这时，再令sinut，当u从4单调变化到3时，t从22单调变化到32，又得3241sinsinduu322221dtt32221t22()322323。⑽1202xxdx；【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：22221(12)1(1)xxxxx，现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令1sinxu，当x从0单调变化到1时，1x从1单调变化到0，从而u对应从2单调变化到0，而且22221sincoscosxxuuu，cosdxudu，于是1202xxdx02coscosuudu021cos22udu0211(sin2)22uu第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解611{[0()][sin0sin()]}2224。⑾411dxx；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令xu，当x从1单调变化到4时，u从1单调变化到2，且由此得2xu，2dxudu，1111ux，于是411dxx2121uduu2112(1)1duu212(ln1)uu2[(21)(ln3ln2)]32(1ln)2。【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令1xu，当x从1单调变化到4时，u从2单调变化到3，且由此得2(1)xu，2(1)dxudu，111ux，于是411dxx322(1)uduu3212(1)duu322(ln)uu2[(32)(ln3ln2)]32(1ln)2。⑿13411dxx；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令1xu，当x从34单调变化到1时，u从12单调变化到0，且由此得21xu，2dxudu，11111ux，于是13411dxx01221uduu12012(1)1duu1202(ln1)uu第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解7112(lnln1)2212ln2。【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令11xu，当x从34单调变化到1时，u从12单调变化到1，且由此得21(1)xu，2(1)dxudu，1111ux，于是13411dxx1122(1)uduu12112(1)duu1212(ln)uu112[()(1)lnln1)]2212ln2。⒀1154xdxx；【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：令54xu，当x从1单调变化到1时，u从3单调变化到1，且由此得21(5)4xu，12dxudu，1154ux，于是1154xdxx123111(5)42uuduu1231(5)8udu31311(5)83uu311[(13)5(13)]8316。⒁1221xedxx；【解】由于11221xxedxedxxx，为含复合函数1xe的积分，且微分部份21dxx仅与复合函数1xe之中间变量1x的微分21dxx相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式1221xedxx1211xedx121xe112()eeee。【解法二】应用定积分的换元法第5章定积分及其应用5.3定积分的换元法和分部积分法习题解8令1ux，当x从1单调变化到2时，u从1单调变化到12，且由此得21dxdux，于是1221xedxx12211xedxx121uedu121ue112()eeee。⒂2120ttedt；【解】为含复合函数22te的积分，且微分部份tdt与复合函数22te之中间变量22t的微分tdt仅相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式2120ttedt22120()2tted2120te102()ee11e。【解法二】应用定积分的换元法令22tu，当x从0单调变化到1时，u从0单调变化到12，且由此得tdtdu，于是2120ttedt120uedu012uedu012ue102ee11e。⒃211lnedxxx；【解】为含复合函数的积分，且微分部份dxx与复合函数11lnx之中间变量1lnx的