5.3 实对称矩阵的正交相似对角化

5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英主要内容实对称矩阵的性质实对称矩阵相似对角化的步骤5.3实对称矩阵的正交相似对角化举例5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英而有的就不能找到n个线性无关的特征向量.上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件:n阶方阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.通过前面的学习我们知道,有的n阶方阵能找到n个线性无关的特征向量,一、问题的提出因此，并不是所有的矩阵一定可对角化.然而实对称矩阵是必可对角化的一类矩阵，而且一定能找到一个正交矩阵Q，使Q-1AQ=.5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英性质1对称矩阵的特征值为实数.二、实对称矩阵的性质正交.性质2设1,2是对称矩阵A的两个特征值p1,p2是对应的特征向量,若12,则p1,p25.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英定理设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q，使Q-1AQ=,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.性质3设A为n阶对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则方程组(A-E)x=0有k个基础解系，即矩阵A-E的秩R(A-E)=n-k.5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英n1+n2+···+ns=n.步骤1：求出矩阵A的所有特征值，设A有s个不同的特征值1,2,···,s，它们的重数分别为n1,n2,···,ns,三、对称矩阵对角化的步骤5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英步骤2:对A的每个特征值i,求(A-iE)x=0的基础解系,设为iinii,,,21(i=1,2,···,s).),,,(21222211121121ssnssnn,,,,,,,,,,Q).,,,,,,,,,diag(212211snssnnλλλλλλΛ以这些向量为列构并把它们正交化、单位化，记为,21iinii,,,造正交矩阵Q，即且Q-1AQ=其中(A的特征值)之间的对应关系.要注意矩阵Q的列与对角矩阵主对角线上的元素5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英例1设求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵.四、举例242422221A5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英EA7220242422221.7),(2321二重得得方程组代入将,02221xEA04420442022321321321xxxxxxxxx第一步求A的特征值的特征向量求出由第二步AxEAi,05.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英解之得基础解系.110,10221将1,2正交化：令;)1,0,2(11T);54,1,52()1,0,2(51)1,1,0(],[],[1112122TT将1,2单位化得：;)51,0,52(1T.)534,35,532(2T第三步将特征向量正交化第四步再单位化5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英,0,73xEA由对求得基础解系2,2,13T,同理将3单位化得32-,32,313T3253451323503153252,,321Q.7000200021AQQ则有第五步构造正交矩阵Q，并写出对角阵5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英解20212022EA2140.2,1,4321得,020212022A例2求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英得由对,04,41xEA04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221得由对,0,12xEA0202202323121xxxxxx解之得基础解系.21225.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英得由对,02,23xEA02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英,3132321P单位化得,3231322P.3232313P,22121212231,,321PPPP作.2000100041APP则5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英例3设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,且特征值1对应的一个特征向量为.,pT1)11(（1）求特征值2对应的特征向量（2）求矩阵A5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英例4求一个三阶实对称矩阵A,它的特征且特征值6对应的一个特征向量为.,,pT1)111(值为6,3,3,设特征值3对应的特征向量为值所对应的特征向量正交,故,0][3211xxx,xp即x的各分量是上面的齐次线性方程组的非零解.求得这个方程组的基础解系为x=(x1,x2,x3)T,由于实对称矩阵的不同的特征解解例例1919求一个三阶实对称矩阵A,它的特征且特征值6对应的一个特征向量为.,,pT1)111(值为6,3,3,5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英5.3实对称矩阵的正交相似对角化黄凤英