5.3 正弦、余弦定理及解三角形

高考数学(浙江专用)§5.3正弦、余弦定理及解三角形考点一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60°,则sinB=,c=.答案 ;37217A组自主命题·浙江卷题组五年高考解析本小题考查正弦定理、余弦定理.由 = 得sinB= sinA= ,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).sinaAsinbBba217考点二解三角形及其综合应用1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案 332解析本题考查圆内接正六边形面积的计算.S6=6× ×1×1×sin60°= .123322.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案 ; 152104解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC= = ,∵∠ABC为三角形的内角,∴sin∠ABC= ,∴sin∠CBD= ,故S△CBD= ×2×2× = .∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC= ,∴2cos2∠BDC-1= ,得cos2∠BDC= ,又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC= .2222ABBCACABBC14154154121541521414581043.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.24a解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0A-Bπ,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S= 得 absinC= ,故有sinBsinC= sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C= ±B.当B+C= 时,A= ;当C-B= 时,A= .综上,A= 或A= .24a1224a122222424评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.4.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.412解析(1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A= ,即B+C= π,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC= ,cosC= .又因为sinB=sin(A+C)=sin ,所以sinB= .由正弦定理得c= b,又因为A= , bcsinA=3,所以bc=6 ,故b=3.121212434255554C310102234122评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan =2.(1)求 的值;(2)若B= ,a=3,求△ABC的面积.4A2sin2sin2cosAAA4解析(1)由tan =2,得tanA= ,所以 = = .(2)由tanA= ,A∈(0,π),得sinA= ,cosA= .又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得b=3 .由sinC=sin(A+B)=sin 得sinC= .设△ABC的面积为S,则S= absinC=9.4A132sin2sin2cosAAA2tan2tan1AA25131010310104sinaAsinbB54A25512评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.6.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c= ,cos2A-cos2B= sinAcosA- sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA= ,求△ABC的面积.33345解析(1)由题意得 - = sin2A- sin2B,即 sin2A- cos2A= sin2B- cos2B,sin =sin .由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A- +2B- =π,即A+B= ,所以C= .(2)由c= ,sinA= , = ,得a= ,由ac,得AC.从而cosA= ,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= ,1cos22A1cos22B32323212321226A26B66233345sinaAsincC853543310所以,△ABC的面积为S= acsinB= .12831825评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.考点一正弦、余弦定理1.(2018课标全国Ⅱ理,6,5分)在△ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ()A.4 B. C. D.2 2C55230295B组统一命题、省(区、市)卷题组答案A本题考查二倍角公式和余弦定理.∵cos = ,∴cosC=2cos2 -1=2× -1=- ,又∵BC=1,AC=5,∴AB= = =4 .故选A.2C552C1535222cosBCACBCACC3125215522.(2017课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则C= ()A. B. C. D. 212643答案B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A= π.由 = 得 = ,∴sinC= ,又0C ,∴C= ,故选B.34sinaAsincC2222sinC1246方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+C)的应用.3.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是 ()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90°或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以0°C90°,故2b=a.故选A.解法二:由正弦定理和余弦定理得b =2a× +c× ,所以2b2 =a2+3b2-c2,即 (a2+b2-c2)=a2+b2-c2,即(a2+b2-c2) =0,2221abcab2222abcab2222bcabc2221abcab2ba21ba所以a2+b2=c2或2b=a,又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2c2,故2b=a,故选A.方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.4.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB= ,BC=3,∠C=120°,则AC= ()A.1B.2C.3D.413答案A在△ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2×3b× ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.12评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.5.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案 解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA= ,又b2+c2-a2=8,∴cosA= = ,∴cosA0,∴cosA= ,即 = ,∴bc= ,∴△ABC的面积S= bcsinA= × × = .解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.233122222bcabc4bc324bc328331212833122336.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.答案 3解析由正弦定理及三角形的内角和定理或余弦定理可得.解法一:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB⇒cosB= ⇒B= .解法二:由余弦定理可得2b·cosB=a· +c· ,所以2bcosB=b,故cosB= .又B为△ABC的内角,故B= .名师点睛解三角形问题,多为边或角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实现边角之间的互化.第三步:求结果.1232222abcab2222bcabc1237.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA= ,cosC= ,a=1,则b=.45513答案 2113解析由已知可得sinA= ,sinC= ,则sinB=sin(A+C)= × + × = ,再由正弦定理可得 = ⇒b= = .解后反思在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的正、余弦公式及正、余弦定理.351213355134512136365sinaAsinbB631653521138.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3 ,b-c=2,cosA=- ,则a的值为.1514答案8解析因为cosA=- ,0Aπ,所以sinA= = .由3 = bcsinA得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=