初中数学名师辅导教案圆第2讲圆的几个重要定理学生版

2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page1of10内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题一、圆周角定理圆心角和圆周角1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中．圆的基本性质有：⑴直径所对的圆周角是直角．知识点睛中考要求第二讲圆的几个重要定理2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page2of10⑵同弧所对的圆周角相等．⑶经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，其它各组量都相等。三、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⊙内一点P，则PAPBPCPD．PODCBA相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．一、圆周角定理【例1】⑴(08龙岩)如图，量角器外沿上有AB、两点，它们的度数分别是7040、，则1的度数为_________．⑵如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmCAB，，则O⊙的半径为______cm．O1BAOCBA重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page3of10【例2】(07年威海中考题)如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，若CDE∠∠∠，求AB∠∠．OEDCBA【例3】(08年济宁改编)如图，四边形ABCD中，ABACAD，若7613CADBDC，，则CBD_________，BAC__________．DCBA【例4】如图，AB为O⊙的直径，CD是O⊙的弦，ABCD、的延长线交于点E，若218ABDEE，，求AOC的度数．OEDCBA【例5】(07重庆)已知，如图：AB为O⊙的直径，ABAC，BC交O⊙于点D，AC交O⊙于点E，45BAC．给出以下五个结论：①22.5EBC，；②BDDC；③2AEEC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AEBC．其中正确结论的序号是．OEDCBA2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page4of10【例6】如图AB是半圆O的直径，点CD、在弧AB上，且AD平分CAB，已知106ABAC，，求AD的长．ODCBA【例7】(08乌鲁木齐)如图所示的半圆中，AD是直径，且32ADAC，，则sinB的值是________．DCAB【例8】⑴(09河北)如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，ABO、、是小正方形顶点，O⊙的半径为1，P是O⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB等于__________．POBAODCBA⑵(09四川成都)如上右图，ABC内接于O⊙，120ABBCABC，，AD为O⊙的直径，6AD，那么BD_________．⑶(09山东泰安)O⊙的半径为1，AB是O⊙的一条弦，且3AB，则弦AB所对圆周角的度数为_____________．【例9】如图，点ABC、、是O⊙上的三点，ABOC∥．⑴求证：AC平分OAB；⑵过点O作OEAB于点E，交AC于点P．若230ABAOE，，求PE的长．OEPCBA2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page5of10【例10】⑴如图，AB是O⊙的直径，CDAB，设COD，则2sin2ABAD_____________．ODCBA⑵如图，AB是O⊙的直径，弦PC交OA于点D，弦PE交OB于点F，且OCDCOFEF，．若CE，则CPE___________．OPFEDCBA⑶已知：如图，MN是O⊙的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，P是MN上一动点，O⊙的半径为1，则PAPB的最小值是_____________．ABOPMN【例11】已知如图，ACD的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BABD．NDCBA二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例12】如图所示在O⊙中，2ABCD，那么()A.2ABCDB.2ABCDC.2ABCDD.AB与2CD的大小关系不能确定DCBAO2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page6of10【例13】如图，过O⊙的直径AB上两点MN，，分别作弦CDEF，，若CDEFACBF，∥．求证：⑴BECADF；⑵AMBN．OFDECMBNA【例14】已知ABAC、是O⊙的弦，AD平分BAC交O⊙于D，弦DEAB∥交AC于P，求证：OP平分APD．OEPDCBA【例15】(2008年广州市数学中考试题)如图，射线AM交一圆于点BC，，射线AN交该圆于点D、E，且BCDE．⑴求证：ACAE⑵分别作线段CE的垂直平分线与MCE的平分线，两线交于点F．求证：EF平分CEN．QPFNMEDCBA三、相交弦定理（选讲）相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB和CD交于O⊙内一点P，则PAPBPCPD．PODCBA相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page7of10【例16】⑴如下左图，在O⊙中，弦AB与CD相交于点P，已知3cm4cm2cmPAPBPC，，，那么PDcm．⑵如下中图，在O⊙中，弦AB与半径OC相交于点M，且OMMC，若1.54AMBM，，则OC的长为()A．26B．6C．23D．22⑶如下右图，在O⊙中，P为弦AB上一点，POPC，PC交O⊙于C，那么()A．2OPPAPBB．2PCPAPBC．2PAPBPCD．2PBPAPCOPDCBAMOCBAOPCBA【例17】如图，圆的半径是52，AC、两点在圆上，点B在圆内，6AB，2BC，90ABC求点B到圆心的距离．ABCO【例18】如图，正方形ABCD内接于O⊙，点P在劣弧AB上，连结DP交AC于点Q．若QPQO，则QCQA的值为___________．OQPDCBA2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page8of10【习题1】(09浙江温州)如图，80AOB，则弧AB所对圆周角ACB的度数是（）A．40B．45C．50D．80OCBA【习题2】(08山西太原)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接ACAD，，若35CAB，则ADC的度数为．【习题3】如图，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AmB等于．A．60°B．90°C．120°D．150°mOBA【习题4】(09四川凉山)如图，O⊙是ABC的外接圆，已知50ABO，则ACB的大小为__________．OCBA【习题5】(09四川南充)如图，AB是O⊙的直径，点CD、在O⊙上，110BOC，ADOC∥，则AOD___________．ODCBACBDOA家庭作业2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page9of10【习题6】如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AEBE；④22CEABBD．其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【习题7】(07年枣庄中考题)如图，ABC内接于O⊙，120BAC，ABAC，BD为O⊙的直径，6AD，则BC.ODCBA【习题8】如图，CD为O⊙的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若D的度数是50，则C的度数是A．25B．40C．30D．50OEDCA【习题9】(08泰安)如图，在O⊙中，AOB的度数为m，C是ACB上一点，DE、是AB上不同的两点(不与AB、两点重合)，则DE的度数为____________．OEDCBA2010年·暑假·短期班圆·第2讲·学生版page10of10【习题10】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，AC的度数为60°，BD的度数为100°，则AEC等于()A．60°B．100°C．80°D．130°【习题11】(宜宾)已知：如图，四边形ABCD是O⊙的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是()A.45B.60C.75D.90PODCBA