初中数学名师辅导教案圆第3讲点、直线与圆的位置关系教师版

2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page1of25第三讲点、直线与圆的位置关系2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page2of252010年·暑假·短期班圆·第3讲·学生版page1of1内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外PrO点在圆的外部dr点P在O⊙的外部.点在圆上PrO点在圆周上dr点P在O⊙的外部.点在圆内PrO点在圆的内部dr点P在O⊙的外部.知识点睛中考要求第三讲点、直线与圆的位置关系中考要求2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page3of25内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外PrO点在圆的外部dr点P在O⊙的外部.点在圆上PrO点在圆周上dr点P在O⊙的外部.点在圆内PrO点在圆的内部dr点P在O⊙的外部.确定圆的条件1.圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．2.过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点AB、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点AB、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点ABC、、共线时，过三点的圆不存在；若ABC、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．知识点睛2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page4of25⑷过n4n个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4.三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离lOdr直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切lOdr直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交lOdr直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：三、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page5of25⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．4．弦切角等于同弧所对的圆周角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O的切线．lAOOAlAOl证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线(2)过切点(3)过圆心TAOBMTAO定理：①过圆心，过切点垂直于切线OA过圆心，OA过切点A，则OA⊥AT②经过圆心，垂直于切线过切点12ABMABMT过圆心为切点③经过切点，垂直于切线过圆心12AMMTAMM过圆心为切点重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点与关键：由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．重、难点2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page6of25一、点与圆的位置关系【例1】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为______．【解析】⑴当点在圆外时，512cm2r，⑵当点在圆内时，513cm2r．【例2】已知：四边形ABCD中，ABCD∥，ADBC，135BAD，20AB，40CD，以A为圆心，AB长为半径作圆．求证：在A⊙上，在A⊙内，A⊙外都有线段DC上的点.DCBAEDCBA【解析】如图所示，作AECD于E∵ABCD是等腰梯，AECD，135BAD，20AB，40CD∴10220AD，22301020AC∴D点在A⊙内，C点在A⊙外，圆内一点与圆外一点的连线，必与圆有一交点，所以A⊙上，A⊙内，A⊙外都有线段DC上的点.【例3】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作O⊙，已知A，B，C三点的坐标分别为34A，，33B，，410C，，试判断A，B，C三点与O⊙的位置关系.【解析】∵22345OA22(3)(3)325OB224(10)265OC∴点A在O⊙上，点B在O⊙内，点C在O⊙外.【点评】要判定点与圆的位置关系，就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系.【例4】在ABC中，90C，4AC，5AB，以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r取何值时，点A在C⊙上，且点B在C⊙内部？⑵当r在什么范围内取值时，点A在C⊙外部，且点B在C⊙的内部？⑶是否存在这样的实数r，使得点B在C⊙上，且点A在C⊙内部？例题精讲2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page7of25CBA【解析】如右图所示在RtABC中，90C，4AC，5AB，根据勾股定理得：2222543BCABAC⑴当4r时，点A在C⊙上，且点B在C⊙内.因为4ACr，所以点A在C⊙上，34BCr，所以B在C⊙内；⑵当34r时，点A在C⊙的外部，且点B在C⊙的内部.由于3BC，要使点B在C⊙的内部，必须C⊙的半径3r；又由于4AC，要使点A在C⊙的外部，必须C⊙的半径4r.综合上述两方面可知，34r.⑶不存在这样的实数r，使得点B在C⊙上，且点A在C⊙内部.因为3BC，要使点B在C⊙上，必须3r，此时，由于4ACr，所以点A在C⊙的外部，点A不在C⊙的内部，所以这样的实数r不存在.【例5】已知ABC中，90C，2AC，3BC，AB的中点为M，⑴以C为圆心，2为半径作C⊙，则点A，B，M与C⊙的位置关系如何？⑵若以C为圆心作C⊙，使A，B，M三点至少有一点在C⊙内，且至少有一点在C⊙外，求C⊙半径r的取值范围．MCBA【解析】如右图所示⑴∵2AC，且C⊙的半径也为2，即ACr∴点A在C⊙上.又∵3BC，2R，BCr∴点B在C⊙外.在ABC中，22222313ABACBC∵M为AB的中点∴113222MCAB∴点M在C⊙内；⑵∵2AC，3BC，132MC∴BCACMC∴要使A，B，M三点中至少有一点在C⊙内，且至少有一点在C⊙外，则C⊙的半径r的取值范围是1332r.【点评】⑴要判定点A，B，M与C⊙的位置关系，只要比较AC，BC，MC的长度与C⊙的半径的大小关系即可；2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page8of25⑵由⑴求得AC，BC，MC的长度即可确定C⊙的半径r的取值范围.【例6】ABC中，10ABAC，12BC，求其外接圆的半径．DOCBA【解析】作高AD，设点O是ABC的外心，则点O在AD上，连结OB∵ABAC，ADBC，∴162BDBC在RtABD中，22221068ADABBD设O⊙的半径为R，则OBAOR，8ODR.在RtOBD中，222OBBDOD∴2226(8)RR，解得254R.∴外接圆的半径为254.【点评】运用外心到三角形的三个顶点的距离相等这一性质，注意，三角形的外心在等腰三角形底边的中垂线上.二、直线与圆的位置关系【例7】(08浙江省丽水)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OPx，则x的取值范围是A．O≤x≤2B．2≤x≤2C．－1≤x≤1D．x＞2【解析】考察根据直线与圆的交点状况判断圆与直线的位置关系．有公共点，说明是相切或相交两种状态，所以P运动到直线与圆相切的状态便可．但还要考虑OP是线段长度且非负，而p在数轴上运动，所以答案是A【例8】已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________．PAOB2010年·暑假·短期班圆·第3讲·教师版page9of25【解析】结合直角三角形30°所对直角边是斜边一半求出O到直线BC的距离，从而根据圆半径判断直线与圆的位置关系，答案是相交．【例9】在RtABC中，90C，12cmAC，16cmBC，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎样的位置关系？为什么？⑴9cmr；⑵10cmr；⑶9.6cmr．DCBA【解析】过C作CDAB于D，则1122AB