初中数学因式分解专题题型详解

第4讲因式分解考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点因式分解1．因式分解的定义及与整式乘法的关系(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算就是因式分解．(2)因式分解与整式乘法是互逆运算．2．因式分解的常用方法(1)提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因式，就叫做公因式．提公因式法用公式可表示为ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．(2)运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式，这种方法叫做公式法，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3．因式分解的一般步骤(1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．(2009·太原)(1)下列各式中，能用公式法分解因式的是()A．x2＋4y2B．a2＋a＋12C．－x2＋4y2D．a2＋ab＋b2(2)若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是()A．－5B．7C．－1D．7或－1(3)下列由左到右的变形，是因式分解的是()A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．x2＋x－2＝x(x＋1)－2C．x2－2x＋1＝(x－1)2D．x2＋5x＋4＝x(x＋5＋4x)【点拨】(1)、(2)题考查平方差公式和完全平方公式的特征；(3)题考查因式分解的概念，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．【解答】(1)C(2)D(3)C(1)(2010·苏州)分解因式：a2－a＝________；(2)(2010·绵阳)分解因式：x3y－xy＝________；(3)(2010·莱芜)分解因式：－x3＋2x2－x＝________；(4)(2009·嘉兴)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)＝________.【点拨】在分解因式时，首先考虑用提公因式法，若不能再考虑用公式法，用公式法分解时一定要先化成标准形式，再灵活选用公式．【解答】(1)原式＝a(a－1)(2)原式＝xy(x2－1)＝xy(x＋1)(x－1)(3)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2(4)原式＝(x＋y)(x＋y－3)把下列各式分解因式：(1)(2010·杭州)m3－4m；(2)(2010·哈尔滨)2a2－4ab＋2b2；(3)(2009·温州)(x＋2)(x＋4)＋x2－4.【点拨】按因式分解的步骤“一提二用三查”进行分解．【解答】(1)原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)(2)原式＝2(a2－2ab＋b2)＝2(a－b)2(3)原式＝x2＋4x＋2x＋8＋x2－4＝2x2＋6x＋4＝2(x2＋3x＋2)＝2(x＋1)(x＋2)1．分解因式：x－2xy＋xy2＝x(1－y)2.2．在实数范围内分解因式：x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)．3．分解因式：2x(a－2)＋3y(2－a)＝(a－2)(2x－3y)．4．分解因式：16(a－b)2－4(a＋b)2＝4(3a－b)(a－3b)．5．若m－n＝6，mn＝7，则mn2－m2n的值是－42.6．下列因式分解正确的是(C)A．2x2－xy－x＝2x(x－y－1)B．－xy2＋2xy－3y＝－y(xy－2x－3)C．x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)2D．x2－x－3＝x(x－1)－37．分解因式：27x2＋18x＋3.3(3x＋1)28．分解因式：4x(x＋y)＋y2.(2x＋y)2考点训练4因式分解训练时间：60分钟分值：100分因式分解训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共36分)1．(2009中考变式题)把多项式ax2－ay2分解因式，所得结果是()A．a(x2－y2)B．a(x－y)2C．a(x＋y)(x－y)D．(ax＋ay)(ax－ay)【解析】ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x＋y)(x－y)．【答案】C2．(2010·安徽)下列因式分解错误的是()A．x2－y2＝(x＋y)(x－y)B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2C．x2＋xy＝x(x＋y)D．x2＋y2＝(x＋y)2【解析】D项中，将等号的右边展开为x2＋2xy＋y2≠x2＋y2.【答案】D3．(2009中考变式题)多项式6a3b2－3ab2－18a2b3分解因式时，应提取的公因式是()A．3a2bB．3ab2C．3a3b3D．3a2b2【解析】公因式的确定包括系数、相同字母的确定，取各系数的最大公约数，取相同字母的最低次幂．【答案】B4．(2009中考变式题)下列从左到右的变形中，是因式分解的是()A．(x＋3)(x－3)＝x2－9B．x2－9＋x＝(x＋3)(x－3)＋xC．3x2－3x＋1＝3x(x－1)＋1D．a2－2ab＋b2＝(a－b)2【解析】因式分解的定义必须满足3个条件：①左边多项式；②右边整式；③中间是恒等变形．【答案】D5．(2010·眉山)把代数式mx2－6mx＋9m分解因式，下列结果中正确的是()A．m(x＋3)2B．m(x＋3)(x－3)C．m(x－4)2D．m(x－3)2【解析】mx2－6mx＋9m＝m(x2－6x＋9)＝m(x－3)2.【答案】D6．(2011中考预测题)把x2＋3x＋c分解因式得：x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c的值为()A．2B．3C．－2D．－3【解析】∵(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2＝x2＋3x＋c，∴c＝2.【答案】A7．(2011中考预测题)如图(1)，边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，小明将图(1)中的阴影部分拼成一个矩形，如图(2)．这一过程可以验证()A．a2＋b2－2ab＝(a－b)2B．a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．2a2－3ab＋b2＝(2a－b)(a－b)D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)【解析】图(1)阴影部分面积为a2－b2，图(2)阴影部分面积为(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【答案】D8．(2010·济宁)把代数式3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是()A．x(3x＋y)(x－3y)B．3x(x2－2xy＋y2)C．x(3x－y)2D．3x(x－y)2【解析】3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.【答案】D9．(2009中考变式题)如果x2－x－m＝(x＋n)(x＋7)，那么m、n的值分别是()A．56,8B．－56，－8C．－56,8D．56，－8【解析】∵(x＋n)(x＋7)＝x2＋(7＋n)x＋7n＝x2－x－m，∴7＋n＝－17n＝－m，解得n＝－8m＝56.【答案】D10．(2011中考预测题)因式分解(x－1)2－9的结果是()A．(x＋8)(x＋1)B．(x＋2)(x－4)C．(x－2)(x＋4)D．(x－10)(x＋8)【解析】(x－1)9－9＝(x－1＋3)(x－1－3)＝(x＋2)(x－4)．【答案】B11．(2011中考预测题)把多项式x3－2x2＋x分解因式结果正确的是()A．x(x2－2x)B．x2(x－2)C．x(x＋1)(x－1)D．x(x－1)2【解析】x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.【答案】D12．(2011中考预测题)若x2－2(m－3)x＋1是完全平方式，则m的值为()A．3B．4C．2D．4或2【解析】∵x2－2(m－3)x＋1＝(x±1)2，∴－2(m－3)＝2或－2(m－3)＝－2，解得m＝2或m＝4.【答案】D二、填空题(每小题3分，共24分)13．(2010·黄冈)分解因式：x2－x＝______.【解析】x2－x＝x(x－1)．【答案】x(x－1)14．(2010·郴州)分解因式：2a2－8＝____________.【解析】2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2)．【答案】2(a＋2)(a－2)15．(2010·宁德)分解因式：ax2＋2axy＋ay2＝______.【解析】ax2＋2axy＋ay2＝a(x2＋2xy＋y2)＝a(x＋y)2.【答案】a(x＋y)216．(2010·北京)分解因式：a3b－2a2b2＋ab3＝______.【解析】a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2.【答案】ab(a－b)217．(2010·安徽)分解因式：9x2－y2－4y－4＝______.【解析】9x2－y2－4y－4＝9x2－(y2＋4y＋4)＝9x2－(y＋2)2＝(3x＋y＋2)(3x－y－2)．【答案】(3x＋y＋2)(3x－y－2)18．(2011中考预测题)若x－y＝3，xy＝－2，则xy2－x2y的值是______．【解析】xy2－x2y＝xy(y－x)＝－xy(x－y)当x－y＝3，xy＝－2时，原式＝－(－2)×3＝6.【答案】619．(2009中考变式题)9x2－6x＋________＝(3x－1)2.【解析】9x2－6x＋1＝(3x－1)2.【答案】120．(2011中考预测题)分解因式：－x3－2x2－x＝______.【解析】－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.【答案】－x(x＋1)2三、解答题(共40分)21．因式分解．(每小题4分，共24分)(1)(2010·杭州)m3－4m；(2)(2010·宜宾)2a2－4a＋2；(3)(2009中考变式题)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2；(4)(2011中考预测题)(a＋1)(a－1)－8；(5)(2009中考变式题)a3＋ab2－2a2b；(6)(2011中考预测题)16x4－81.解：(1)原式＝m(m2－4)＝m(m＋2)(m－2)(2)原式＝2(a2－2a＋1)＝2(a－1)2(3)原式＝x(x＋y)[x－y－(x＋y)]＝x(x＋y)(x－y－x－y)＝－2xy(x＋y)(4)原式＝a2－1－8＝a2－9＝(a＋3)(a－3)(5)原式＝a(a2＋b2－2ab)＝a(a－b)2(6)原式＝(4x2＋9)(4x2－9)＝(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)22．(8分)先分解因式，再计算求值．(1)(2009中考变式题)9x2＋12xy＋4y2，其中x＝43，y＝－12；(2)(2011中考预测题)(a＋b2)2－(a－b2)2，其中a＝－18，b＝2.解：(1)原式＝(3x＋2y)2当x＝43，y＝－12时，原式＝[3×43＋2×(－12)]2＝(4－1)2＝9(2)原式＝(a＋b2＋a－b2)(a＋b2－a－b2)＝ab当a＝－18，b＝2时，原式＝(－18)×2＝－1423．(8分)(2011中考预测题)给出三个多项式：12x2＋2x－1，12x2＋4x＋1，12x2－2x，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．答案不唯一，举例如下：选择12x2＋2x－1，12x2＋4x＋112x2＋2x－1＋(12x2＋4x＋1)＝12x2＋2x－1＋12x2＋4x＋1＝x2＋6x＝x(x＋6)