反比例函数的图像和性质的复习课(经典)

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反比例函数的概念一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数.xk(2)判断一个函数是否是反比例函数,关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.(1)k、x、y的取值均不为0.(3)只要k确定,则反比例函数关系式就确定.知识点1初中数学资源网反比例函数的三种表达形式:)是常数,)是常数,是常数,0()3(0()2()0()1(1kkkxykkxkykkxky知识点2确定反比例函数的关系式1.确定实际问题中的反比例函数关系式关键:认真审题,弄清题意,找出等量关系2.用待定系数法确定反比例函数关系式知识点2>0时,双曲线的两支分别在第象限;关于轴对称当k<0时,双曲线的两支分别在第象限.关于轴对称双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.注意:1.用描点法画反比例函数图像时,连线必须是光滑的.2.画实际问题中的反比例函数的图像时,应注意自变量的取值范围,应在自变量的取值范围内画函数图像.知识点3二、四一、三y=-xy=x>0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近x轴、y轴.反比例函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形;对称中心是原点,有两条对称轴.知识点4函数正比例函数反比例函数关系式图象形状K0K0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线,经过原点双曲线,与坐标轴无交点一三象限y随x的增大而增大一三象限在每个象限内y随x的增大而减小二四象限二四象限y随x的增大而减小在每个象限内y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别)0(kxky知识点5反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数中比例系数k的绝对值的几何意义:如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴,y轴的垂线,M、N分别为垂足,则kxyxyPNPMS矩形PMONkxyk知识点5(x,y)的面积。求矩形垂足分别为轴的垂线轴分别作过上任意一点是双曲线设OAPB,,,,,)0(),(BAyxPkxkynmPP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质(一).||||||)(||||knmAPOASnAPmOAOAPB矩形;如图所示,解:的面积。求垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设AOP,,,)0(),(AxPkxkynmP|k||n||m|APOAS|n|AP|m|OAΔOAP212121;,P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质(二)反比例函数的应用图象实际问题数学问题(反比例函数模型)(抽象)(数形结合)数学问题(反比例函数模型)(解决)(转化)知识点6初中数学资源网类型一反比例函数的概念类型一:第21练11.若函数是反比例函数,则m2+3m+1=.22(1)mymx5)是常数,0(1kkxky01122mm得m=1初中数学资源网类型二确定反比例函数的关系式类型二:第21练2,32.已知y与x+2成反比例,且当x=2时,y=3,当x=-1时y=。12待定系数法1.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例,已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米,则眼镜度数y度与镜片焦距x之间的函数关系式是.)0(100xxy=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y与x的函数关系式;(2)当x=-2时,求函数y的值.思路点拨:本题中,y1与x和y2与x的函数关系中的待定系数不一定相同,故不能都设为k,为了区分,要用不同的字母表示.第21练11待定系数法xkxky2112214,52,2kkkkxxy2222(2)52y解:(1)由题意,设y1=k1x(k1≠0),(k2≠0),则,当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,得解得k1=2,k2=2.(2)当x=-2时,.∴的几何意义解题类型三:第21练61.如图,点A、B是双曲线上的点,分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段,若则。3yx1S阴影,12SS4分析:由k的几何意义可知S1+S阴影=3,S2+S阴影=3,而S阴影=1,故S1+S2=4如图,直线y=mx与双曲线交于A、B两点,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连结BM,若=2,则k的值是()A.2B.-2C.mD.4xkyABMSA第21练10对称性可知S△AOM=S△BOM=1如图,在反比例函数的图象上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3=.)0(2xxy1.5第22练5S2S31234类型四反比例函数与一次函数综合应用类型四:第21练91.如图一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图像交于点A(2,1),B(-1,-2),则使y1>y2的x的取值范围是()A.x>2B.x>2或-1<x<0C.-1<x<2D.x>2或x<-1x2B如图,已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.解:(1)一次函数的解析式y=-x-2反比例函数解析式xy8042xx或(2)x的取值范围为初中数学资源网变形:如图,已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.连AO、BO,求S△AOB变形提示:求出直线AB的表达式,并求它出与坐标轴的交点坐标,将△AOB分成两个或三个三角形来求.CD如图所示,点A是反比例函数的图象上一点,轴的正半轴于B点,C是OB的中点;一次函数的图象经过A、C两点,并交y轴于点D(0,-2),若(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当时,x的取值范围.ABx4AODS△.yxCBADO反比例函数与一次函数综合应用12yy第21练14E解:作轴于E∵∴∴AE=4∵为的OB中点,∴∴∴∴A(4,2)将A(4,2)代入中,得k=8将A(4,2)和D(0,-2)代入解得:a=1,b=-2∴AEy42AODSOD△,421AEODABOBC,90DOCABCOCBCOCDBCA∠∠,,∠∠RtRtDOCABC△≌△2ABOD1kyx18yx2yaxb,22yxyxCBADO(2)在y轴的右侧,当时,12yy04x.E正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示.小矩形的长x(cm)与宽y(cm)之间的函数关系如图2所示:(1)求y与x之间的函数关系式;(2)“E”图案的面积是多少?(3)如果小矩形的长是6≤x≤12cm,求小矩形宽的范围。类型五:第22练11初中数学资源网(1)设函数关系式为∵函数图象经过(10,2)∴∴k=20,∴(2)∵∴xy=20,∴(3)当x=6时,当x=12时,∵k=200,y随x增大而减小∴小矩形的长是6≤x≤12cm,小矩形宽的范围为xky102kxy20xy202162022162xySSE正310620y351220ycmy31035解:)0()1(.1图象的是在同一坐标系中的大致和如图能表示kxkyxkykkxyxky-)1(知识拓展:分类讨论知识拓展分类讨论已知点A(2,y1),B(5,y2)是反比例函数图象上的两点.请比较y1,y2的大小.25y1y2ABy3C-3⑴代入求值⑵利用增减性⑶根据图象判断C(-3,y3)是,y3的大小.知识拓展数形结合知识拓展:数形结合初中数学资源网知识拓展转化思想如图,梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上,OA∥BC,上底边OA在直线y=x上,下底边BC交x轴于E(2,0),则四边形AOEC的面积为()A.3B.C.-1D.+1知识拓展:转化思想333D点拨:将点C的纵坐标及OE的长,借助的OA函数关系式与OA和EC的平行关系,转化为梯形CAOE中的两底及高,从而求得梯形的面积.初中数学资源网再见!祝你成功!=x6y=-x6y=-xy=xy=xy=-x

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