华师版 12 二次函数与一元二次方程及不等式的关系新

二次函数与一元二次方程及不等式的关系学习目标：1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。2、能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高用数学的意识。3、进一步养成综合解题能力，渗透数形结合思想。回顾：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况与△的关系。(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?二次函数与一元二次方程二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?一、探究探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在轴上，∴它们的纵坐标为0，∴令y=0，则x2-3x+2=0解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0），B（2，0）你发现方程的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0点燃智慧的火花结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（），B（）x1，0x2，0xOABx1x2y开启智慧二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0开启智慧探究2、抛物线与X轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？△＞0△=0△＜0OXY结论2：抛物线y=ax2+bx+c抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、△＞0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根与x轴有两个交点——相交。抛物线y=ax2+bx+c2、△=0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。抛物线y=ax2+bx+c3、△＜0一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根与x轴没有公共点——相离。归纳：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点坐标：△﹥0有两个交点，△=0有一个交点，△﹤0无交点。即y=0时方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交点、即x=0时，y的值。y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b的交点、即解方程ax2+bx+c=kx+b。分△﹥0有两个交点，△=0有一个交点，△﹤0无交点三种情况。做一做：画函数的草图，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)不看图象你能求出交点坐标吗？这里x的取值与方程有什么关系?223yxx2230xx(3)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？(4)能否用含有x的不等式来描述（3）中的问题？能否利用二次函数y=ax2+bx+c的图象寻找一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），不等式ax2+bx+c0(a≠0）或ax2+bx+c0(a≠0）的解？已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；(1)方程-x2+3x+4=0的解是_____(2)不等式-x2+3x+40的解集是____(3)不等式-x2+3x+40的解集是____xyo12345-1-21234-1-2-3-4-5X=-1,x=4X-1或x4-1x4|１、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝０的____。２、根据图象可求出不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0的解，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据__________写出不等式的解集。解交点的坐标观察上图（1）、（2）、（3），分别表示二次函数y=x2-x+2,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2并回答下列问题：（1）每个图象与x轴有几个交点？交点坐标分别是什么？（2）你知道图象与x轴的交点个数与什么有关？（1）(2)(3)2383结论：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点情况可以有对应的一元二次方程的根的判别式判定：△＞０，抛物线与轴有２个交点．△＝０，抛物线与轴有１个交点．△＜０，抛物线与轴有0个交点．已知抛物线的解析式为y=ax2+x+，当a取何值时，(1)图象与x轴有两个交点？(2)图象与x轴有一个交点?(3)图象与x轴无交点？14基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.1116一课一测P18、7、P19、14、19。加强练习：1、已知二次函数y=ax2-ax+3x+1的图象的最低点在x轴上，则a=____；2、已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于两点A（a,0),B(b,0),且a2+b2=17,则k的值是__________.1或a=92解：因为二次函数y=x²-(k-1)x-3k-2的图像与x轴交于A（a,0)B(b,0),故：a、b是x²-(k-1)x-3k-2=0的两个实数根故：a+b=k-1，ab=-3k-2，△=(k-1)²+4(3k+2)≥0因为a²+b²=17即：a²+b²=(a+b)²-2ab=17故：(k-1)²+2(3k+2)=17故：k=-6或k=2因为k=-6时，△=(k-1)²+4(3k+2)=-15＜0故：k=2回顾与反思：二次函数的图象与x轴有无交点问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，可从计算根的判别式入手小结：你学到了什么？谈谈你的收获？达标测试：1、已知二次函数y=x2+mx+m-2.求证：无论m取何值，抛物线总与x轴有两个交点。2、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2.（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数顶点在x轴下方？（3）当实数k在何范围取值时，函数顶点在第四象限内？P26、练习、1、2。如图，请编题求值。（不少于2道）1234-1-21234作业：p27、3、《学习指导》P137、（1）（3）P142、(26)一课一测P18、10、11、12、17、18。