华师版--13.5.3角平分线的性质

13.5.3角平分线的性质学习目标：1.通过操作、验证等方式，掌握角平分线的性质定理2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA122.下图中能表示点P到直线l的距离的是线段PC的长探究角平分线的性质(1)实验：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，做PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，观察PD与PE是否会完全重合？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.BADOPEC(2)猜想:条件：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.2BADOPEC角平分线上的点到角的两边的距离相等性质定理：AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符号表示为：角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。合作探究′思考分析逆命题到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.OCBAPDE逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.用符号语言表示为:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.OCBAPDE角平分线性质定理的逆定理1.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.角平分线的判定定理:角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点到角两边的距离相等总结归纳基本应用1、填空：(1).∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(___________________________________________)(1).∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(_______________________________________________)ACDEB12∠1＝∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等PAl1l2图1图2Pl1l2B（1）下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是（）2.选择题：基础练习：（2）、下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角的边上的距离的是（）APMAPN基础练习：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCBBDCD基础练习：3.判断：（）×（2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCBBDCD（×）基础练习：（3）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DE⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角的平分线上的点到角的两边的距离相等。ADCB（√）基础练习：1.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等.（2）AP平分∠A.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上PD⊥AB,PE⊥BC（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代换）.即点P到边AB、BC、CA的距离相等∴AP平分∠A（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）DEFABCPMN提高训练2、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF3、如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗?桥头焦寺旁堤刘（比例尺为１：５００００）A区域丰收乐园回味无穷一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.二.逆定理角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.小结拓展三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理证明两角相等的方法：１．同角（或等角）的余角（补角）相等．２．平行线的性质３．对顶角相等．４．全等三角形的对应角相等５．等边对等角６．角平分线的性质定理及其逆定理证明线段相等的方法：•１．全等三角形的对应边相等．•２．角平分线的性质定理•３．等角对等边•４．等腰三角形的三线合一•５.垂直平分线的性质定理