高教版中职数学(基础模块)下册7.3《平面向量的内积》3

主讲：张传玺7.3平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学过程】*创设情境兴趣导入Fs图7—21O30如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100m．那么，这个人做了多少功？30*动脑思考探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则i+yjFxsin30cos30FiFj即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即（J）30W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝50023OxijF(x,y)y图7－22这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a,b，作＝b,由射线OA与OB所形成的角＝a,OAOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：时，a·b＝−|a||b|.（1）当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝180(2)cosa,b＝||||abab.（3）当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa（4）当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有,90abcos900,aba·b＝0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：(1)a·b＝b·a（2）()·b＝(a·b)＝a·(b)．a（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.请结合实例进行验证.*巩固知识典型例题例1已知|a|＝3,|b|＝2,a,b＝,求a·b．60解a·b＝|a||b|cosa,b＝3×2×cos＝3．60例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求a,b22解cosa,b＝||||abab＝＝22222由于0≤a,b≤180所以a,b＝135*运用知识强化练习1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为，求a·b．602.已知a·a＝9,求|a|．3.已知|a|＝2,|b|＝3,a,b＝，求(2a＋b)·b．30*动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又|i|＝|j|＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则aaa22xy，即a22xy(7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，cosa,b＝||||abab＝121222221122xxyyxyxy(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0x1x2＋y1y2＝0因此abx1x2＋y1y2＝0．(7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识典型例题例3求下列向量的内积：（1）a＝(2,−3),b＝(1,3)；（2）a＝(2,−1),b＝(1,2)；（3）a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b,|a|,|b|,a,b．解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5；|a|＝22(1)25aa|b|＝22(3)110bbcosa,b＝||||abab＝522105．所以a,b＝45例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab(2)因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．*运用知识强化练习1、已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b2、已知a＝(1,），3b＝(0,），3求a,b．3、已知a＝(2,−3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4、判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,−3)，b＝(3,−2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0,−3)；(3)a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5.求下列向量的模：(1)a＝(2,−3)，(2)b＝(8,6)．*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．a·b＝｜a||b|cosa,b(7.10)*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5,−4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2,−3),b＝(3,−4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3A组（必做）；7.3B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．