常微分方程第三版课后习题答案(1)

1常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3解：原式可化为：2312．解415．16．解：5，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有令当当另外619.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得720.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)=e()8=e()=是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解.6．解：=+令则=u因此：=（*）9将带入（*）中得：是原方程的解.101113这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令P(x)=Q(x)=-112由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x）=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==1315这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式14==c=1y=17设函数(t)于∞t∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或（1）当时即∞,∞)(2)当时====于是变量分离得积分由于，即t=0时1=c=1故20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.15（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：（3）（4）1）先证是（2.28）的一个解。于是得故是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解16则（4’）于是（4’）-（4）得从而即所以，命题成立。（3）设，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为17从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为于是所以，方程的通解为。（6）方程变形为于是18所以，方程的通解为。22．求解下列方程。（1）解：===（2）P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=19==习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.解：，=1.则所以此方程是恰当方程。凑微分，得：2．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3．解：20则.因此此方程是恰当方程。（1）（2）对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则故此方程的通解为4、解：，.21.则此方程为恰当方程。凑微分，得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x-)=0故所求的解为sin-cos+x-=C求下列方程的解：6．2x(y-1)dx+dy=0解：=2x,=2x22所以，=，故原方程为恰当方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解为y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，de(x-2x+2)+d(xy)=0即d[e(x-2x+2)+xy]=0故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C8.2xydx+(x+1)dy=0解：2xydx+xdy+dy=0d(xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解为xy+y=C9、解：两边同除以得即，故方程的通解为10、23解：方程可化为：即，故方程的通解为：即：同时，y=0也是方程的解。11、解：方程可化为：即：故方程的通解为：12、解：方程可化为：故方程的通解为：即：13、解：这里，方程有积分因子两边乘以得：方程是恰当方程故方程的通解为：24即：14、解：这里因为故方程的通解为：即：15、解：这里方程有积分因子：两边乘以得：方程为恰当方程故通解为：即：16、解：两边同乘以得：故方程的通解为：17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。25解：若方程具有为积分因子，（是连续可导）令，.，，，方程有积分因子的充要条件是：是的函数，此时，积分因子为.令，26此时的积分因子为18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关.充分性若该方程有只与有关的积分因子.则为恰当方程,从而,,.其中.于是方程可化为即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则=uf+uy+yf=+-yf27===而=ug+ux+xg=+-xg==故=，所以u是方程得一个积分因子21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(+)证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证u+M=u+Nu(-)=N-Mu(-)=Nef(x)-Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y))由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：两边同乘以，令，28线性方程有积分因子：，故原方程的积分因子为：，证毕！23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明：若，则又即为的一个积分因子。24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证（任意常数）是方程的通解。证明：因为是方程的积分因子所以为恰当方程即，下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上：29即当时，是方程的解。证毕！习题2.4求解下列方程1、解：令，则，从而，于是求得方程参数形式得通解为.2、解：令，则，即，从而30，于是求得方程参数形式得通解为.3、解：令，则，从而=，于是求得方程参数形式的通解为,另外，y=0也是方程的解.4、,为常数解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.5、131解：令，则，从而，于是求得方程参数形式的通解为.6、解：令，则，得，所以，从而，于是求得方程参数形式的通解为，因此方程的通解为.习题2.52．解：两边同除以，得：即324．解：两边同除以，得令则即得到，即另外也是方程的解。6．解：得到即另外也是方程的解。8.解：令33则：即得到故即另外也是方程的解。10．解：令即而故两边积分得到因此原方程的解为，。12.解：令则即故方程的解为3414．解：令则那么求得：故方程的解为或可写为16．解：令则即方程的解为18．解：将方程变形后得同除以得：35令则即原方程的解为19.X(解：方程可化为2y(令363727.解：令，，则，，，两边积分得即为方程的通解。另外，，即也是方程的解。28.解：两边同除以，方程可化为：令，则38即，两边积分得即为方程的解。29.解：令，则，，那么即两边积分得即为方程的解。30.解：方程可化为两边积分得即为方程的解。31.解：方程可化为39两边同除以，得即令，，则即两边积分得将代入得，即故32.解：方程可化为两边同加上，得（*）再由，可知（**）将（*）/（**）得即整理得两边积分得即40另外，也是方程的解。33.求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：由题意得即也即两边同除以，得即即为方程的解。34.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此即其中，解之得又时，；时，。故得，从而方程可化为41当时，有米/秒即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。35.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：36.解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可转化为：观察得到它的一个特解为：，设它的任意一个解为，代入（*）式得到：42由（**）-（*）得：变量分离得：两边同时积分：即：故原方程的解为（2）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，设它的任意一个解为，故变量分离再两边同时积分得：即故原方程的解为（3）解：原方程可化为：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，故，该式是一个的伯努利方程两边同除以得到：即：，令，则：，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解为：43（4）解：原方程可化为：由观察得到，它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：即：故：原方程的解为：（5）解：原方程可化为：由观察得，它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：故：原方程的解为：，即.（6）解：原方程可化为：44由观察得到它的一个特解为，设它的任一个解为，于是，这是的伯努利方程两边同除以得到：即：则：从而：故原方程的解为：即：（7）解：由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的佰努利方程，两边同除以得：即：从而：故原方程的解为：习题3.1451求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解；解：取=2求方程=x-y通过点(1,0)的第三次近似解；解：令则=3题求初值问题：R：1，1的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为M=max{}=4则h=min(a,)=则解的存在区间为==令=0;=y+dx=x+;46=y+dx=x---+又=L则：误差估计为：=4题讨论方程：在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为=在y上存在且连续；而在上连续由有：=（x+c）又因为y(0)=0所以：=x另外y=0也是方程的解；故方程的解为：=47或y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数，且满足不等式：f(t