2014届新课标高中数学(文)第一轮总复习第4章第29讲 和、差、倍角的三角函数[2014高考数学]

拼角、凑角技巧11tan()tan27(0)1tan221已知－＝，＝－，且，，，求：的值；求－【例】的值．222tantan[()]11tan()tan127.111tan()tan3127122tan()42tan2(),11tan()314tan(2)tan[2()]41tan()tan371.411tan()tan1()1237【解析】＝－＋＝＝＝－－＝＝＝－－＝－＋－＝＝＝－(0)10.41tan,7220.3tan(2)12.4因为，，，由知又因为＝－，所以，所以－－而－＝，所以－＝－解题时，要注意找出未知角与已知角之间的关系．本题的关键在于找出未知角α，2α－β与已知角α－β、β的关系，发现α＝(α－β)＋β，2α－β＝2(α－β)＋β，从而用公式求解．类似的角的配凑技巧还有如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)等．对于求角度大小的问题，一般要先求角度的某一三角函数值，再研究角度范围，进而求出角．【变式练习1】(2011·浙江卷)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝539.【解析】由0απ2得π4π4＋α3π4，－π2β0，则π4π4－β2π2，又cos(π4＋α)＝13，所以sin(π4＋α)＝223，同理cos(π4－β2)＝33，则sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝539.公式的综合运用11sinsincoscos232cos()已知－＝，－＝【】，求－例的值．2222221sinsin21coscos31sin2sinsinsin41cos2coscoscos.9112(coscossinsin)2()9459cos().72因为－＝，①－＝，②故由①得－＋＝，③由②得－＋＝④则③＋④得＋＝－，所以－＝【解析】欲求两角差的余弦，可知要由条件得到两角正弦的积与余弦的积的和，故需将两等式平方后相加求得．熟悉公式的结构特征，并对题设中条件式与欲求(证)式之间的联系理解透彻，是解题的关键．2221cos20cos40cos80cossin2tan()42co2s()4求的值【变习】化式；简练．2sin20cos20cos40cos802sin20sin40cos40cos80sin80cos802sin2022sin20sin160sin201.222sin208sin2108原式＝＝＝＝【】＝解析＝22sin()cos242cos()cos()44cos2sin()cos()44cos2cos21.co2s2sin(2)2原式＝＝＝＝＝22sincossin()abab公式＋＝＋的运用4603sincos243mxxxmm已知，求使＋＝有【例】意义的实数的取值范围．313sincos2(sincos)222(sincoscossin)2sin()6662026634612sin()21264461742.463247[2].3xxxxxxxxxmxmmmmmmm＋＝＋＝＋＝＋．因为，所以＋，所以＋，所以，即，解得故满足条件的实数的取值范围是，【解析】2222223sincossin()3sincos46sincos4(sincos)sin()tan.mxxAxxxmabmababababba要求的取值范围，需求＋的取值范围，故应先将该式化为＋的形式，再由＋的范围解与有关的不等式．形如＋的函数解析式，可用配凑的方法化为＋＝＋的形式，其中满足＝【变式练习3】(2011·泰州中学)其中a＝(m，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函数y＝f(x)＝a·b的图象经过点(π4，2)．(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．【解析】(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin2x)＋cos2x.由已知得f(π4)＝m(1＋sinπ2)＋cosπ2＝2，解得m＝1.(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin(2x＋π4)．所以当sin(2x＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－2.由sin(2x＋π4)＝－1，得x值的集合为{x|x＝kπ－3π8，k∈Z}．31.sincossin25　若＋＝，则＝_________1625－39sincos1sin252516sin2.25若＋＝,得＋＝，所以＝－【解析】212.tan()tan(),544tan()4若＋＝，－＝那么＋的值是_________tan()tan[()()]44tan()tan()34.221tan()tan()4＋＝＋－－＝＝【解析】322222313.64sin20________sin20cos20＋＝22222222222223cos20sin2064sin20sin20cos20(3cos20sin20)(3cos20sin20)64sin20sin20cos202sin(2060)2sin(6020)64sin20sin20cos2016sin80sin4064sin20sin4032cos403原式＝＋＝＋＝【解析】＋＝＋＝＋2(1cos40)32.－＝3224.4310(1)tantan()22tan2xaxaa　已知方程＋＋＋＝＞的两根为、，且、－，，求的值．221tantan40tan?tan310.()(0)222(0)tan0.222tantan44tan()1tantan1(31)32tan42tan()31tan22tan3tan22aaaaa因为＞，所以＋＝－＜，＝＋＞又、－，，所以、－，，则－，，所以因为＋＝＝＝，所以＋＝＝，整理得＋【解析】－20tan2.2＝，解得＝－2sin50sin80(13tan10)5..1cos10　求值：2sin50cos103sin10)2cos52sin502sin402sin502cos502cos52cos522sin(5045)22sin952cos52cos522cos52.2cos5原式＝＝＝【＝＝】＝＝解析1．两角和与差的三角函数要注意的问题(1)不仅要明确公式的一致性，而且要注意不同公式的结构特点：角的顺序、函数的顺序、符号的规律，便于记忆和运用．()()222kkkkZZ两角和与差的正弦、余弦公式中的角、可以为任意角，而两角和与差的正切公式中的角、必须满足：、＋，＋．当、不满足上述要求之一时，则可利用诱导公式求两角和与差的正切．32要能从知识联系的角度去认识公式，如诱导公式可看作是两角和与差的三角函数公式的特例．要会恰当运用角的配凑的方法，为两角和与差公式的运用铺平道路．．二倍角的正弦、余弦和正切公式要注意的问题23,32242()()2124kkkkZZ二倍角公式在运用时不只局限于是的二倍的情况．与与，与等等都是二倍角的关系．要注意公式的适用范围．二倍角的正弦、余弦公式中的角可以为任意角，而二倍角的正切公式中的角必须满足：＋且＋．3413要加强运用公式的灵活性．注意到二倍角公式是两角和与差的三角函数公式的特例；注意到二倍角公式的正用和逆用，其中，二倍角公式的逆用往往用来降幂转化．．公式应用要讲究一个活字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件用公式，如拆角、拼角技巧等．．注意、切化弦、通分等方法的使用．