2014届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第4讲_函数的概念、解析式及定义域

一函数的定义域【例1】(1)函数y＝x2－2x－3＋log2(x＋2)的定义域是__________；(2)若函数y＝12x2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围是__________．【解析】(1)由x2－2x－3≥0x＋2＞0，得{x|－2＜x≤－1或x≥3}，即为所求．(2)由已知2x2＋kx＋1≠0对x∈R恒成立，所以Δ＝k2－80，解得－22k22.【点评】函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合．在一些具体函数综合问题中，函数的定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必须树立“定义域优先”的原则．而逆向问题注意命题的等价转化．素材1(1)函数f(x)＝lg1－x2的定义域为(B)A．[0,1]B．(－1,1)C．[－1,1]D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)若f(x＋1)的定义域为[－2,3)，则f(2x－1)的定义域为[0，52).【解析】(1)由1－x20，得－1x1，故选B.(2)因为－2≤x3，所以－1≤x＋14.由－1≤2x－14，得0≤x52，故f(2x－1)的定义域为[0，52)．二函数的解析式【例2】求下列函数的解析式：(1)已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)．【分析】根据条件可灵活运用不同的方法求解．【解析】(1)方法1：待定系数法．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.又f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，所以9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.比较两端的系数，得9a＝96a＋3b＝－6a＋b＋c＝5，解得a＝1b＝－4c＝8.所以f(x)＝x2－4x＋8.方法2：换元法．令t＝3x＋1，则x＝t－13，代入f(3x＋1)＝9x2－6x＋5中，得f(t)＝9(t－13)2－6·t－13＋5＝t2－4t＋8，所以f(x)＝x2－4x＋8.(2)直接列方程组求解．由2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，用－x代换上式中的x，得2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2.解方程组2fx＋f－x＝3x＋22f－x＋fx＝－3x＋2，得f(x)＝3x＋23.【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁．求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多．求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函数f[g(x)]的表达式，可用换元法或配凑法求解；②如果已知函数的结构，可用待定系数法求解；③如果所给式子含有f(x)、f(1x)或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一方程，通过解方程组求解．已知f(1－cosx)＝sin2x.素材2【解析】因为f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，设1－cosx＝t，因为cosx∈[－1,1]，所以t∈[0,2]，所以f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，所以f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．三函数创新题【例3】(2011·湖南卷)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为____________；(2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为__________．【解析】(1)由题可知f(n)∈N*，而k＝1，n1时，f(n)＝n－1∈N*，故只须f(1)∈N*，故f(1)＝a(a为正整数)．(2)由题可知k＝4，n4时，f(n)＝n－4∈N*，而n≤4时，2≤f(n)≤3，即f(n)∈{2,3}，即n∈{1,2,3,4}，f(n)＝2或3，由映射个数求法可知不同函数f的个数为24＝16.【点评】本题以函数定义及映射个数求法为模型，考查学生对书本定义及习题的把握程度，考查分析问题、解决问题的能力，可见“回归课本”复习之纲．素材3(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对任意正实数m，n恒有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且f(2)＝－1，则f(1)＝0，f(12)＝1；(2)已知函数f(x)＝x21＋x2，则f(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)＝72.【解析】(1)令m＝n＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.f(1)＝f(2×12)＝f(2)＋f(12)＝－1＋f(12)＝0，所以f(12)＝1.(2)由f(x)＝x21＋x2，知f(1x)＝1x21＋1x2＝11＋x2，所以f(x)＋f(1x)＝1，故原式＝11＋1＋1＋1＋1＝72.如图①所示是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象．备选例题(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议吗？(3)图①、②、③中的票价分别是多少元？(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？【解析】(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元．点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点(不包括B点)表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．(3)图①②中的票价是2元，图③中的票价是4元．(4)斜率表示票价．1．已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可．如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零同时底数大于零不等于1，等等．2．求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法等．当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配凑法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法．3．分段函数是指自变量在取值情况不同时，对应法则不同．分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合．