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上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化第四章§4.3相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵的定义定义4.3.1对于n阶矩阵BA,，若存在可逆矩阵P使BAPP1则称与相似，记为BA~AB1513A2004B5111P1115611PBAPP1BA~例如：有，则上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化二、相似矩阵性质易证明相似矩阵满足以下性质.⑴AA~（自反性）⑵若ABBA~~（对称性）⑶若CAABBA~~,~（传递性）以上性质表明矩阵的相似关系是方阵集合上n的等价关系.定理4.3.1n若阶矩阵A与B相似，则矩阵A与B有相同的特征多项式。从而A与B的特征上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化值也相同.证因A与B相似，故存在可逆矩阵P,使得1BPAP，故PEAPEPPAPPEAPPEB)(1111EAPEAP1推论若n阶矩阵A与对角矩阵nndiag2121),...,(上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化相似，则n,,,21就是A的n个证因n,,,21n,,,21是的n个特征值，由定理4.3.1知就是A的n个特征值.值.定理4.3.1的逆不成立，即具有相同特征多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似，例如1301A1001B，它们的特征多项式的两个同阶，特征上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化但一定不存在可逆阵P使BAPP1三、矩阵的对角化定义4.3.2若一个矩阵与对角阵相似，则称该矩阵可对角化.下面讨论对于n阶方阵A寻求相似变换矩阵P使BAPP1定理4.3.2n阶矩阵A与对角化矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化证（必要性）设可逆矩阵),,(21npppPnppp,,21是P的列向量，则由APP1PAP，即),,(21npppAnnppp2121),,(),,(2211nnppp=上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化因为),2,1(nipApiiiP为可逆阵，故),2,1(0nipi个线性无关的特征向量.nppp,,21是An的（必要性）反之A个线性无关的特征向量.n),,(),,(221121nnnppppppAAP有PApppnn2121),,(APP1上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化与对角化矩阵相似A结合定理4.3.1，属于不同的特征值的特征向量，是线性无关的，可得如下推论推论若A有n个不同的特征值，则矩阵角化A可对值得注意的是，P中列向量nppp,,21的排列顺序要与n,,21的排列顺序一致，由于ip是0)(xEAi基础解系中的解向量，故ip取法不唯一，故也不唯一.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化如果不计的排列顺序，i则是唯一确定的如果方阵A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量了，则矩阵AA定能对角化就不一例4.3.1判断矩阵210230104A可否对角化.由A的特征多项式2210230(1)(4)104EA得其特征根为11234上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化当时，110103220013103000EAEA对应的方程组为：13233333xxxxxx它的基础解系1331是方阵A的对应于特征根11的特征向量。当234时，2101004210010100000EAEA对应的方程组为：123300xxxx上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化它的基础解系1001是方阵A的对应于特征根234234的特征向量.因此，3阶方阵只有2个线性无关的特征向量，故不能对角化.例4.3.2已知460350361A（1）证明A可对角化；（2）求相似变换P矩阵，使1PAP为对角阵上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化解（1）由A的特征多项式：2460350(1)(2)361EA得其特征根为：12231，当12时，6601012330011363000EAEA对应的方程组为：132333xxxxxx它的基础解系1111上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化是方阵A的对应于特征根12的特征向量。当231时，360120360000360000EAEA对应的方程组为：1222332xxxxxx它的基础解系23201,001是方阵A的对应于特征根的特征向量。231上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化111123201,001是线性无关的，所以A可对角化。（2）设123120(,,)110101P则1120110121P所以，1211PAP上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化通过以上的例子，得到矩阵对角化的步骤：⑴求矩阵A的全部特征根n,...,,21（重根写重数）⑵对不同的i求0)(XAEi的基础解系（基础解系的每个特征向量都可作为相应的i所对应的特征向量；⑶若能求出n线性无关的特征向量，则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵np...21则有上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化nAPP211其中n,...,,21要和n,...,,21对应。四、相似矩阵的应用我们可以利用相似矩阵求矩阵的高次幂.求一般矩阵的高次幂比较困难，而对角矩阵的高次幂却很简单上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化nnnnnnn2121以后利用矩阵可以比较方便的计的高次幂AA的对角化，算矩阵1111111...PPPPPPPPPPAPPAAPPnn例4.3.3设1111A，求nA解：2,021111121,20,11111PP上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化111112222111121201111nnnnnnnPPA一个nn阶矩阵具备什么条件才能对角化，或者说什么样的矩阵具有个线性无关的特征向量是一个复杂的数学问题，对此这里不准备进行一般讨论，而仅讨论当A是实对称矩阵的情形.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.3相似矩阵与矩阵的对角化作业习题P88-894.11,4.12,4.13