高数—不定积分讲解和例题-PPT

第四章不定积分§1.不定积分的概念与性质已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=v(t)。——微分学解决的问题已知物体运动的速度函数v=v(t)求运动的位置函数s=s(t)。——积分学解决的问题一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F’(x)=f(x)。——积分学的任务一、原函数与不定积分的概念定义1：已知f(x)是一个定义在区间I上的函数，,)()()()(xdxfxFdxfxF或则称F(x)为f(x)在I上的原函数。如：,2)(2xx∴x2是2x的原函数;dsinx=cosxdx,∴sinx是cosx的原函数;,)()(tvts∴s(t)是v(t)的原函数。如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有有关原函数的几个问题1.在什么条件下,f(x)一定存在原函数？原函数存在定理：若f(x)在区间I上连续，则在I上必存在原函数。2.如果f(x)有原函数，那么共有几个？设F(x)为f(x)的原函数，则),()(xfxF为任意常数。且CxfCxF),())((∴f(x)如有原函数，就有无穷多个。∴F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。3.如果f(x)有一个原函数F(x),那么F(x)+C是否包含了f(x)的所有原函数？的任一个原函数，是设)()(xfx)()(xfx则0)()(])()([xfxfxFx)()()(是常数CCxFxCxFx)()(定义2：函数f(x)的全体原函数就称为f(x)的不定积分。记作.)(xdxf其中—积分号f(x)—被积函数f(x)dx—被积表达式x—积分变量例：,2)(2xx.22Cxxdx若F(x)为f(x)的一个原函数，则.)()(CxFxdxf,sin)cos(xx.cossinCxxdx不定积分的几何意义:f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，方程为y=F(x).CxFxdxf)()(则就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。xy0)(xFyx先积分后微分的作用相互抵消。由不定积分的定义，的原函数，是)()(xfxdxf则有又xdxfxdxF)()(,)(CxF,)(][xdxfdxdxf)(或,)(CxFd或)(xF）（)()(xdFdxxF先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。,)(])([xfxdxf例：求通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。解：设所求曲线方程为y=f(x).由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率,6xdxdyxdxy6,32Cx为一簇积分曲线。.132,2|1CCyx即有.132xy所求曲线为：二、基本积分表②注意：).1(11Cxxdx③Cxxdxxxdln1.)(1xx依基本导数公式与不定积分的定义，即可得基本积分公式：请同学们参见教材第186页15个公式。例题讨论求下列不定积分：例1.xdxx321xdxx312xdx3538x83.C例2.xdxxx21xdxxdx212321x223x32.C).1(11Cxxdx三、不定积分的性质性质1.函数和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。.)()()()(xdxgxdxfdxxgxf性质2.被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。)0(.)()(为常数kxdxfkxdxfk利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。例3.xdxex)sin3(xdxxdexsin3.cos3Cxex例4.xdxxx2324xdx234x4.)23ln()23(Cx掌握被积函数的恒等变形。.lnCaaxdaxx,cossinCxxdx例5.xdx2cotxdx)1(csc2xcot同理，xdx2tanxdx)1(sec2.tanCxx例6.xdxx22cossin1xdxxxx2222cossincossinxdxx22cscsecxtan例7.xdxx2cos1cos12xdxx22cos2cos1xdx1sec212.tan21Cxx.cotCx.Cx例8.xdxxx)1()1(22xdxxxxxx)1(2)1(1222xdxx2121xln例9.xdxx241(假分式=多项式+真分式)xdxx24111xdxxxx2222111)1()1(xx331.arctanCx.arctan2Cx从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。所以注重积分过程的正确性是至关重要的。即每一步运算都要看能否还原到上一步。课外作业习4—1（A）1（双）习4—1（B）1（5，6，7，11），2一、第一类换元法如何积分？xdx2sin是复合函数，xy2sin(凑微分法)1.凑常数例1：)22(dxxdxdx2sinxdx2sin221(2x=u)udusin21Cucos21.2cos21Cx§2.换元积分法例2：xdex534)53(453xdex]3)53([xdxdudeu34)53(uxCeu34.3453Cex例3：222xxxdxdx2)1(11(+1)(x+1=u)udu211Cuarctan.)1(arctanCx31例4：)0(22axaxd211axxda(/a)a.arcsinCax229xxxd如：2)1(10xxd(-1))1,10(xua.101arcsinCx.arctan122Caxaxaxd同理：例5：)0(22aaxxdxdaxaxa1121axaxdaxaxda)()(21Caxaxalnln21.ln21Caxaxa同理：)0(.ln2122aCxaxaaxaxd.2121ln221Cxx例6：tdtt3cos5sintdtt)2sin8(sin21.2cos418cos161Ctt122xxxd如：2)1(2xxd)1,2(xua2.凑函数（变量）定理1.设F(u)是f(u)的一个原函数，且的是则)()()(xxfxF原函数，且有换元公式：xdxxf)()()(ufud)(])([xuCuF.)(CxFu=φ(x)可导,证明：)()(})({xxFCxF得证。),()(xxf)(])([xuudufxdxxf)()(CuF)(.)(CxF换元公式：φ(x)=uuduf)(前例：xdx2sin.2cos21Cxxdxxxdxcossin22sinxdx)(sin(u=sinx)xdxsinsin2Cu2xdsinudu2)()(xdxf)()(xdxdx.sin2Cx例1：xdxxln1xdxdxln1xdxlnln1udu1.lnlnlnCxCu例2：xdxx1sin12)1(12xdxdxxdx11sin.1cosCx题目做得熟练后，中间变量u可以不写出来。例3：xdxtanxdxxcossinxdxcoscos1.coslnCx同理：.sinlncotCxxdx例4：xdxsecxdxsec(secx+tanx)(secx+tanx)xdxxxxxtansectansecsec2xxxxdtansec)sec(tanCxxtanseclnCxxxdxtanseclnsec同理：Cxxxdxcotcsclncscxdxxxdxx2cos1tan1cossin1Cxxdxtanlntantan1例5：xdxxcossin1)2(2sin1xdx)2()2csc(xdxCxx|2cot2csc|ln或例6：xdx2sinxdx22cos1xdxxd2cos21221.2sin4121Cxxxdx2cos同理，.2sin4121Cxx例7：xdx4cosxdx222cos1dxxx424cos12cos21.4sin3212sin4183Cxxxdxxx84cos2cos43例8：xdx3sinxdxxsinsin2.cos31cos3Cxxxdxcos)cos1(2xxdxdcoscoscos2例9：xdxx52sincos)cos(sincos42xdxx)cos()cos1(cos222xdxxxdxxxcos)coscos2(cos642x5cos52x7cos71.Cx3cos31一般：时：当0,0cossinnmxdxxnmxxxun22sin1cos,sin令，是奇数xxxum22cos1sin,cos令，是奇数22cos1cos22cos1sin,22xxxxnmnm，利用的幂或则降低，是偶数且例10：xdx4secxdxtansec2xdxtan)1(tan2x3tan31.tanCx例11：xdxx35sectanxdxxsecsectan24Cxxx357sec31sec52sec71xdxxsecsec)1(sec222一般：时：当0,0sectannmxdxxnmxxxun22tan1sec,tan令，是偶数1sectan,sec22xxxum令，是奇数1sectansec,22xxxnm利用的幂则化为，是奇是偶例12：xdxx4sin12sinxxd42sin1sin例13：xdxxx)1(arctan)2(1xdxdxxdxarctan22)(1xdxarctan2.)arctan(2CxxarctanCx)arctan(sin2课外作业习4—2（A）3（4，5，6，13，16，17）习4—2（B）2（4，7，8）二、第二类换元法(变量代换法)定理2.设x=ψ(t)是单调的可导函数，,0)(t且的原函数，是)()()(ttft的原函数，且有是则)()(xfx换元公式：tdttfxdxf)()()(的反函数。是其中)()(txxtxdxf)(对即令x=ψ(t)，,)(tdtxdtdttf)()(tdt)()(tCt)(.)(Cx1.三角代换例1：)0(22axdxa分析：目的