一元二次方程导学案学生用

第1页共17页22.1一元二次方程导学案第1课时一元二次方程（1）学习目标：1.理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。2.能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。3.会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。学习重点：１.一元二次方程及其有关概念。２.由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。学习难点：依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。学习过程：一、创设情境，激趣引题要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高xm，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________二、自学教材，探标露疑1、自学课本P30页—P31页内容（31页例题之前），并把存在的问题记录下来；2、自学课本后完成下列问题：【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？【分析】设宽为x米，则列方程得：；整理得①【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为x，则列方程得：；整理得②【问题3】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：；整理得③3.在上述中的三个问题得出的三个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？三、合作交流，互教互助1.一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？2.对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？3.若方程ax2+bx+c=0中a＝0、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？补充练习：下列方程中，哪些是一元二次方程？第2页共17页（1）x2+1=o（2）2x2=3x（3）3x2-5x+8=0（4）2x2+3xy+y2=5（5）02cbxax（6）32x2=2x+1变式1：下列方程中,是一元二次方程的是_______________________.(写序号)①4x2+3=0②ax2+bx+c=0③3x2-x4+5=0④(x-5)(x+8)=x2-4⑤xy+x=y2⑥x-3=84．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．5．探究P31页例题，完成下列练习：A组说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项:（1）、x2十3x十2＝O＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）、x2—3x十4＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）、3x2-5＝0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）、4x2十3x—2＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿＿（5）、3x2—5＝0；＿＿＿＿＿＿＿＿（6）、6x2—x=0.＿＿＿＿＿＿＿B组将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）8142x（2）)2(5)1(3xxx（3）（8-2x）（5-2x）=18（4）（x+1）2+（x-2）（x+2）=1四、拓展延伸，变式巩固1．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．2．若关于x的方程（m+3）27mx+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．五、当堂训练，及时反馈1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（）（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（）（２）ｘ2＝１；（）（３）221352245xxxx；（）（４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（）第3页共17页（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（）（６）ax2＋bx＋c＝０（）2、下列方程中不含一次项的是（）（A）、xx2532（B）、2916xx（C）、0)7(xx（D）、0)5)(5(xx3、若关于x的一元二次方程012)1(22mxxm的常数项为0，则m的值是（）（A）、1（B）、-1（C）、±1（D）、±24、３ｘ2m-1＋10ｘ－１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为：（）Ａ、ｍ＝２Ｂ、21mＣ、23mＤ、无法确定5、要使02)1()1(1xkxkk是一元二次方程，则k=_______.6、将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项.（1）5X2—1＝4X（2）4X2=81（3）4X(X+2)=25（4）(3X—2)(X+1)=8X—37、根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。8、已知关于x的一元二次方程043)2(22mxxm有一个解是0，求m的值。第4页共17页第2课时一元二次方程（2）学习目标：1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点：一元二次方程解的探索。学习难点：一元二次方程近似解的探索。学习过程：一、创设情境，激趣引题问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？108设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．列表：x012345678…问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得________．列表：x01234567891011二、自学教材，探标露疑阅读课本P32页—P33思考下列问题：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗？问题2呢？学生交流后得出结论：问题1中__________是0362x的解，问题2中________是012022xx的解。（3）如果抛开实际问题，问题1中还有________解，问题2中还有______解。小结：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根。由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。三、合作交流，互教互助要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm则列方程，即请根据列方程回答以下问题：第5页共17页（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x1011121314151617…x2-5x-150（3）你知道铁片的长x是多少吗？四、拓展延伸，变式巩固1.已知关于x的方程2x2-kx+1=0的一个解与方程xx112=4的解相同，求k的值.2.已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且ab,求baba2222的值五、当堂训练，及时反馈1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A3(x+1)2=2(x+1)B2112xxCax2+bx+c=0Dx2+2x=x2-12.关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则（）Aa0Ba0Ca=1Da03.将方程2(x+3)2=5化为一元二次方程的一般形式，结果为（）A2x2+12x+18=0B2x2+12x+13=0C2x2+6x+9=0Dx2+6x+9=04.一元二次方程3x2-x=0的解是（）Ax=0Bx1=0x2=3Cx1=0x2=31Dx=315.已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m=()A-1B0C1D26.方程2x2-(x-1)2=2的一次项系数为______.7.方程x2+(k-1)x-3=0的一个根是1，则k=_____.8..根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。第6页共17页（3）一个矩形的长比宽多1cm，对角线长5cm，求矩形的长x。（4）一个圆的面积是6.28cm2，求半径r.9.关于x的方程(m-1)(m+3)x2+(m-1)x-m+3=0,当m_____时，它是一元二次方程，当m_____时，它不是一元二次方程。10.关于x的方程2x2+(k+8)x-(2k-3)=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=____。11.写出一个一元二次方程，使它们的一个根为0，且二次项系数为1._____________________.12.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个根是0,求m的值.13.关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,求m的取值范围.14..若方程(m-1)x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程,求m的值15.若a2+a=0,则2a2+2a+2013的值是多少？第3课时解一元二次方程——配方法（1）学习目标：1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点：掌握直接开平方法解一元二次方程。学习难点：灵活运用直接开平方法解一元二次方程。学习过程：一、创设情境，激趣引题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？二、自学教材，探标露疑第7页共17页预习课本P34-P35对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2(21)5x；（2）2692xx．解一元二次方程的实质是:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得三、合作交流，互教互助1.下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？⑴x2=3⑵3t2-t=0⑶3y2=27⑷(y-1)2-4=0⑸(2x+3)2=6⑹x2+x-9=0⑺x2=36x⑻x2+2x+1=02.市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块绿地的边长增加了多少米？（结果保留一位小数）四、拓展延伸，变式巩固解方程：⑴x2+2=22x⑵12x＝2五、当堂训练，及时反馈1.解下列方程⑴2y2=8⑵2(x-8)2=50⑶(2x-1)2+4=0⑷4x2-4x+1=0（5）x2-10x+25=0(6)(2x+5)(2x-5)=42.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．第4课时解一元二次方程——配方法（2）学习目标：1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点：掌握配方法解一元二次方程。学习难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。学习过程：一、创设情境，激趣引题要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2，场地的长和宽分别是