人教版高中数学必修二圆与方程小结与复习

——小结与复习1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25D.(x-8)2+(y+3)2=25半径所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选D.2(85)2(31)5rCA，D2.方程y=对应的曲线是（）原曲线方程可化为x2+y2=4（y≤0），表示下半圆,选A.24xA3.半径为5且圆心在y轴上的圆与x轴相切，则圆的方程为（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0B设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为5.所以=5,b=±5.故圆的方程为x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.选B.易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴.b4.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为.设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，对称圆的半径不变，为1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.111022ab111ba5.若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a=.依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心所以解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.填3.易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在D2+E2-4F＞0时才表示圆，因此需检验不等式是否成立.321,2aa（），21102aa，1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程（1）标准方程：以（a,b）为圆心，r（r0）为半径的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径当D2+E2-4F=0时，只表示一个点；当D2+E2-4F0时，不表示任何图形.,22DE（），12r224DEF；3.点与圆的位置关系圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b），半径r，若点M（x0,y0）在圆C外，则（x0-a）2+（y0-b）2r2;若点M（x0,y0）在圆C上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点M（x0,y0）在圆C内，则（x0-a）2+（y0-b）2r2.则圆C与l相离Δ＜0,圆C与l相切Δ=0，圆C与l相交Δ＞0.(1)直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交。判断直线与圆的位置关系的方法常见的有两种方法：4.直线与圆的位置关系①代数法：由圆C方程及直线L的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δddd.O.O.Orrr相离相切相交1、直线与圆相离=dr2、直线与圆相切=d=r3、直线与圆相交=drlll②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径的大小关系外离|O1O2|R+r|O1O2|=R+rR-r|O1O2|R+r|O1O2|=R-r|O1O2|R-r外切相交内切内含rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O25.圆与圆的位置关系设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，6.对称问题:圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线y=x的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线y=-x的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.BABABAxxxxxx427.与圆有关的弦长问题①几何方法：②代数方法：rdABO222||drAB解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法.其中K是直线的斜率，XA、xB是直线和圆交点的横坐标,且BAxxkAB)1(||2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．8.过圆上一点的切线方程：9.两圆相交的弦的方程⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.10.圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．重点突破：圆的方程（Ⅰ）求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与圆的位置关系.（Ⅱ）求过A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心C坐标.例1（Ⅰ）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（Ⅱ）设出圆的方程，解方程组即可.（Ⅰ）解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在y=0上,故b=0，所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点,则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因为kAB==-1,故l的斜率为1,又AB的中点为（2，3）,故线段AB的中垂线l的方程为x-y+1=0.4213又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1，0)，所以半径故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心(-1，0)的距离为所以点P在圆外.2211420rAC2221425dPCr，(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0·E+F=0，解得D=-2E=6F=-15.所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圆心坐标为（1，-3），半径为r=5.“待定系数法”是求圆的方程的常用方法.一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些.变式练习1根据下列条件求圆的方程.（Ⅰ）圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4.（Ⅱ）已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4.3102(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.①4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令x=0,由①得y2+Ey+F=0.②由已知其中y1,y2是方程②的两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.将P,Q点的坐标代入①式得1243yy，(Ⅱ)解法1：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，由圆心在直线y=2x上，得b=2a，①由圆在直线x-y=0截得的弦长为4，将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得化简得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.22222()2(10)42abab，解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0的距离，所以又已知b=2a，解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.224210822dr（）22abd，求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.例2解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．重点突破：与圆有关的最值问题例3.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0（Ⅰ）求y-x的最大值和最小值,（Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.方程x2+y2-4x+1=0变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形是圆.(Ⅰ)y-x看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.203,2b666（Ⅱ）x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2-)2=7-4.涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用.2220002（）（），3333已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值与最小值.设=k，即y=kx，当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值.因为圆心（2,0）到直线y=kx的距离为，所以得k=±.所以变式练习2yxyx322031kk，3maxmin33.yyxx（），（）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.利用OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，在利用勾股定理求解.例4设已知圆的圆心为C，弦PQ中点为M，因为CM⊥PQ,所以kCM=2，所以CM所在直线的方程为即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得M的坐标为（-1，2）.1322yx（），由方程组则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因为OP⊥OQ所以点O在以PQ为直径的圆上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.在Rt△CMQ中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以m=3.所以半径为，圆心为(-，3).在解决与圆有关的问题中.借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算.22116413225.24m（）（）（）52121.求