等比数列前N项和公式

知识梳理数列等差数列定义通项公式前n项和公式等比数列定义通项公式?nnSna项和为的前已知等差数列}{2121aaaaSnnn1121nnnaaaaS2)(1nnaans等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法.两式相加等差数列求和公式的推导求和的根本目的:出现相等的项，达到化简求和式的目的.张三和李四是中学同学，张三学习成绩优异，考上了重点大学。李四虽然很聪明，但对学习无兴趣，中学毕业后做起了生意，凭着机遇和才智，几年后成了大款。一天，已在读博士的张三遇到了李四，李四流露出对张明清苦的不屑,表示要资助张三，张三说：“好吧，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”李四听了，立刻答应下来心想:这太简单了。没想到不到30天，李四就后悔了,不该夸下海口。同学们，你知道李四一共应送给张三多少钱吗？引例分析：由于每天的钱数是前一天钱数的2倍，且一共有30天，各天的钱数依次是：.S23282930122222于是李四一共应送给张三总钱数就是:.2,2,,2,2,2,1292832问题1：如何求的和？29283230222221S122222129283230S)2(2222222302943230S222222223029283230S如何处理,使得式子出现相等的项，达到化简求和式的目的？观察求和的式子①，相邻两项有什么联系？302130302SS分1073741823123030S≈1073.74万元即李四一共应送给张三总钱数就是1073.74万元如果将等式①两边同乘2，则得到一个新的等式②,从第２项开始，每一项都是前一项的２倍．问题2.请同学们考虑如何求出这个和？nnnSqqqq2211.nnnSqqqq221111nqnnqSS.nnnqSqqqqq23121nq1nSq1111nnqqqqnS(1)当q≠1时,(2)当q=1时,nSn,,nnqqqSnq1111请同学们归纳一下这种解法?.nnnqSqqqqq2312.nnnSqqqq221111nqnnqSS1nq1nSq.nnnqSqqqqq2312等式的两端同乘以公比，使原数列的各项的公比的次数都增加1.这样，所得等式的右边与原等式的右边就有许多相同的项.如果把两个等式相减，两个等式的右边就有许多项可以相互抵消.我们把这种求数列前n项和的方法叫做错位相减法.请同学们归纳一下这种解法?分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？已知等比数列{an}公比为q，求Sn=a1+a2+…+an..Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn—1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②从第二项起，每一项为前一项的q倍问题3.请同学们类比上面的方法求出这个和.②-①得qSn-Sn=a1qn-a1得(q-1)Sn=a1qn-a1⑴当q≠1时Sn=nnaqaqqq111111naqaq111⑵当q=1时Sn=na1)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn即：以上推导公式的方法就是“错位相减法”.等式的两端同乘以公比，使原数列的各项的公比的次数都增加1.这样，所得等式的右边与原等式的右边就有许多相同的项.如果把两个等式相减，两个等式的右边就有许多项可以相互抵消.我们把这种求数列前n项和的方法叫做错位相减法.qqaan11当q≠1时Snqqaan111an=a1qn-1qqqaan1111归纳：等比数列的前n项和公式为：(2))1()1(1(1))1()1(1)1(1111qnaqqqaaSqnaqqqaSnnnn或注意:当公比q不确定时，应当分q=1和q≠1两种情况讨论.以下问题你能回答吗？①公式中的qn的n是项数n吗？是)1(1nqa②在公式（1）中，当q≠1时，分母是1－q时，分子是，分母是q－1时，分子是.)1(1nqa(2))1()1(1(1))1()1(1)1(1111qnaqqqaaSqnaqqqaSnnnn或【公式的应用】例1、已知等比数列.,81,41,21（1）求前8项之和；（2）求第5项到第10项的和；（3）求此数列前2n项中所有偶数项的和。例1、已知等比数列.,81,41,21（1）求前8项之和；256255211211211)1(8818qqaS211a因为21q8n【公式的应用】321415qaa10466521212112113211)1(qqaS还可以：410SSS（2）求第5项到第10项的和；例1、已知等比数列.,81,41,21【公式的应用】例1、已知等比数列.,81,41,21（3）求此数列前2n项中所有偶数项的和。偶数项：,641,161,41确定项数为n，公比为，41首项为412a所以naaaS24241141141n【公式的应用】（2）已知等比数列求前8项的和.,2431,27,91aaan范例讲解课堂小练1101k3213336,114,,S.21,243,3,S.(3)3,14,.(4)a2,14,;.763(5),,.22nknaaqaaqqSaSqaSSa已知等比数列中（）已知求（2）已知求已知则已知则则2或-38或18182*2,nnN364158?n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列xqa,11解：由已知条件得，nSxxnn11所以)1()1(xxxxxxnnnS111)1(1时，当1xnnaSn1时，当1x(1)等比数列前n项和公式：Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导例2某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）%;1050005000500021yy间的关系如下分析：销售量与年份之2310150001010150001015000%)(%%)(%)(y10150001015000134nnyy%)(.....;%)(解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000，q=1+10%=1.1，Sn=30000,于是得到:30000.1.11)1.15000(1n（年）50.0410.20lg1.1lg1.6n整理后，得1.1n=1.6两边取对数，得nlg1.1=lg1.6用计算器算得作业Ｐ６1１，２课外作业同学们课后思考能否用其它方法推导等比数列的前n项和？课后思考若呢？nnnS223222132nnSna项和为的前已知等差数列}{2121aaaaSnnn1121nnnaaaaS2)(1nnaans等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法.两式相加等差数列求和公式的推导求和的根本目的:出现相等的项，达到化简求和式的目的.