22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质1

y=ax2(a≠0)a0a0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而减小。当x0时，y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时，y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,抛物线的开口就越小.例1.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2－1的图像解:列表x…-3-2-10123…y=2x2+1y=2x2-1…199313919……1771-11717…描点连线(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2有什么关系?（1）抛物线y=2x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=2x2－1:开口向上,顶点为(0,－1).对称轴是y轴,(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2－1与抛物线y=2x2的异同点:12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=2x2+1抛物线y=2x2抛物线y=2x2－1向上平移1个单位抛物线y=2x2向下平移1个单位y=2x2－1y=2x2抛物线y=2x2+1相同点：①形状大小相同②开口方向相同③对称轴相同不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同．●●●把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3．4个单位呢？22yx－222464－48－2－4522xy4.322xy(1)得到抛物线y=2x2+5(2)得到抛物线y=2x2－3.4抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是：（k0）形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同．抛物线之间的平移规律：抛物线y=ax2抛物线y=ax2－k向上平移k个单位抛物线y=ax2向下平移k个单位抛物线y=ax2+k函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到，当k0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。上加下减相同上k下|k|12345x12345678910yo-1-2-3-4-5当a0时，抛物线y=ax2+k的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于；当a0时,抛物线y=ax2+k的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。42-2-4-6-8y-10-5510xO108642-2y-10-5510xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k例：在同一个直角坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x2+1的图像，并根据图像回答下了问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2（2）函数y=-x2+1，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是其图像与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标21一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：二次函数y=ax2+k（a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），是由抛物线y=ax2的图像向上（k＞0）或向下（k＜0）平移个单位得到的。k当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上,在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k当a＜0时，抛物线y=ax2+k的开口向下,在对称轴的左边，即x＜0时，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大；在对称轴的右边，即x＞0时，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到。(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9（3）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。（4）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最值，这个值等于。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-35、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（）xyoAxyoCxyoBxoyDB7.抛物线y=ax2＋c与y=３x2的形状相同，且其顶点坐标是（０,１），则其表达式为__________________________，y=３x2＋１或y=－３x2＋１8、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，（4）抛物线y=ax2＋c对称轴是y轴，顶点（0，-3），且经过（1，2），求抛物线的解析式.9已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其图象上,且x2x40,0x3x1,|x2||x1|,|x3||x4|,则()x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B10已知二次函数y=ax2+c，当x取x1,x2(x1≠x2,x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.–cD.cD11.已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？221xyy=ax2+k(a≠0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(0,k)(0,k)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而减小。当x0时，y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时，y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=kx=0时,y最大=k抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|k|个单位得到.|a|越大开口越小，反之开口越大。1某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.试一试xyABOC415415解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将x=0.8,y=0代入y=ax2+2.4得0=0.64a+2.4∴a=_涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_x2+2.42.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4米,水位上升3米达到警戒线MN位置时,水面宽4米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?6NMBAxyc解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+c.则B点坐标为(2,0),N点坐标为(2,3),63故0=24a+c,3=12a+c,解得a=-,c=6,14即y=-x2+6.14其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时.