三元方程组的解法

问题：甲、乙、丙三数的和是33，甲数比乙数大2，甲数的两倍与丙数的和比乙数大24，求这三个数．思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？x+y+z=33x-y=22x+z-y=24根据题意，列方程组：讨论：上面方程组具有什么特点？新课导入方程组中含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．知识要点①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解．解三元一次方程组的步骤：有一个三位数，已知个位上的数比十位上的数大2，十位上的数比百位上的数大3，且个位、十位、百位上的数的和为17，求这个三位数是多少？解：设个位上的数是x、十位上的数是y、百位上的数是z，根据题意，得x－y=2①y－z=3②x＋y＋z=17③②＋③，得x＋2y=20④①与④组成方程组x－y=2x＋2y=20解这个方程组，得x=8y=6把y=6代入②，得6－z=3所以z=3所以，这个三元一次方程组的解是x=8y=6z=3答：这个三位数是368．问题：甲、乙、丙三数的和是33，甲数比乙数大2，甲数的两倍与丙数的和比乙数大24，求这三个数．思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？x+y+z=33x-y=22x+z-y=24根据题意，列方程组：例2解三元一次方程组x+y=7①y+z=9②z+x=8③解：①+②+③得2x+2y+2z=24即x+y+z=12④④－①得z=5④－②得x=3④－③得y=4x=3y=4z=5因此，三元一次方程组的解为例3解方程组x：y：z=2：3：5x+y+z=200解：此方程组即为235200xyzxyz3x=2y①3z=5y②x+y+z=100③即：③×3－①－②，得y=75把y=75分别代入①②，得3x=2×75所以x=503z=5×75所以Z=125因此，三元一次方程组的解为x=50y=75z=125例7己知x，y，z满足方程组求x：y：z的值．x-2y+z=05x-4y-7z=0解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为解这个方程组，得10x=z313y=z6x－2y=－z5x－4y=7z∴x：y：z=20：13：6解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程进行求解．课堂小结三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元消元2．三元一次方程组的解是_____________．x+2y=10y-z=-32z-x=81．已知x∶y∶z＝1∶2∶3，且x＋y＋z＝30，则xyz＝________．750x=4y=3z=6随堂练习5．已知并且Z≠0，求x：y的值．5x-4y-29z=0X-3y+3z=0解：把字母z当成已知数，则原方程可变形为解这个方程组，得5x－4y=29zx－3y=－3z∴x：y=9：4x=9zy=4z6．己知：，求：（1）x：z的值．（2）y：z的值．3x-4y-5z=0(x,y,z?0)x+2y-15z=0解：原方程组可化为3x-4y=5zx+2y=15z解此方程组，得x=7zy=4z∴x：z=7：1．y：z=4：1．x:y:z=1:5:93x+y-z=-2①②7．解方程组解：由①可设x=t，则y=5t，z=9t，代入②得，3t＋5t－9t=－2∴t=2∴x=2，y=10，z=18x=2y=10z=18∴方程的解是1．x=-1,x=5,11y=-2,2y=,21z=3.z=;3（）（）3x=-,4x=2,51y=-3,2y=31z=2.z=;2（）（），2．习题答案3．百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z．x+z=y,7x-y-z=2,x+y+z=14.x=2,y=7,z=5.4．原方程组可转化为2x-3y=0,4y-5z=0,x+y+z=66.x=30,y=20,z=16.5．a+b+c=-2,a-b+c=20,9311a+b+c=a+b+c.4293a=6,b=-11,c=3.