9.5 空间向量及其运算(6)

成都七中授课人：曹杨可课件制作：曹杨可9.5空间向量及其运算（9）1.上节课我们学习了空间两个向量的夹角、向量的模、两个向量的数量积以及有关的性质、运算律，请问什么叫做两个向量的夹角呢？两个向量的夹角的取值范围是什么？已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞．规定：＜a，b＞．2.什么叫做两个向量互相垂直呢？两个向量互相垂直的充要条件是什么？3.什么叫做两个向量的数量积？已知空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.说明：在两个向量的数量积的定义中，涉及了两个向量的数量积、向量的模、两个向量的夹角的余弦．因此，在几何问题中，常通过两个向量的数量积以及向量的其它运算来解决几何问题，这也正是我们今天要研究的问题．用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可以解决两个向量的数量积或夹角问题；baba⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．1.分析：0017．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，F是CC1的中点，O为下底面的中心，求证：A1O⊥平面BDF。（13分）BDAOAO，则连结证明：AABCDAA于面在正方体中1.1上的射影在面是ACOAAO）（11BDOA，，，连接中点取OGGDGDC1CCDBCDCDDA于面，于面由正方体知11111.//BCOG则.1CDOG面上的射影在面是111CDOAGD的中点、分别是、中，在正方形111CCCDFGCCDDGDDF1）（21DFOA.211DBFOADBDDF面及）（、）（综上DAA1BCD1B1C1OFGMN)'(21BCCC解：'21BC'CDCDCC''·CDMN)'(21BCCC)'(CDCC4.OO归纳小结：选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底，并用它表示指定的向量，是用向量知识解决立体几何问题的基本要领．解题中要结合已知和未知去观察图形、联想有关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标将不符合要求的向量加以调整，如此反复，直至所有向量符合目标要求．作业：《中学第二教材》P26~28