2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第3章 第6节 简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换[主干知识梳理]半角公式(不要求记忆)1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.2．用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；tanα2＝±1－cosα1＋cosα.3．用sinα，cosα表示tanα2.tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.[基础自测自评]1．(教材习题改编)已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33B[∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－1＋132＝－63.]2．已知函数f(x)＝cos2π4＋x－cos2π4－x，则fπ12等于()A.12B．－12C.32D．－32B[f(x)＝cos2π4＋x－sin2x＋π4＝－sin2x，∴fπ12＝－sinπ6＝－12.]3．已知tanα＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()A．3B．6C．12D.32A[cos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos2α＋2sinα·cosαcos2α＝2＋2tanα＝3.]4.sin20°cos20°cos50°＝________．解析sin20°cos20°cos50°＝12sin40°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案125．若1＋tanα1－tanα＝2014，则1cos2α＋tan2α＝________．解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝（cosα＋sinα）2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2014.答案2014[关键要点点拨]三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．[典题导入]化简2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.三角函数式的化简[听课记录]原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.[规律方法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．[跟踪训练]1．化简1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.解析解法一：原式＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα－α2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.解法二：原式＝1－tan2α2tanα2·1＋sinαsinα2cosαcosα2＝2tanα·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosα·cosα2＝2sinα.[典题导入](1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32.三角函数式的求值[听课记录]原式＝sin（30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.答案C(2)已知α、β为锐角，sinα＝35，cosα＋β＝－45，则2α＋β＝________.[听课记录]∵sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×－45＋45×35＝0.又2α＋β∈0，3π2.∴2α＋β＝π.答案π[规律方法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．[跟踪训练]2．(1)(2014·太原模拟)sin20°1＋cos40°cos50°＝()A.12B.22C.2D．2aB[sin20°1＋cos40°cos50°＝sin20°2cos220°cos50°＝2sin20°cos20°cos50°＝22sin40°cos50°＝22sin40°sin40°＝22，选B.](2)(2014·石家庄质检)计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1D[tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝sinπ4＋α·cos2α2sin2π4＋αcosπ4＋α＝cos2α2sinπ4＋αcosπ4＋α＝cos2αsin2π4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.][典题导入](2013·陕西高考)已知向量a＝(cosx，－12)，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值．三角恒等变换的综合应用[听课记录]f(x)＝(cosx，－12)·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin(2x－π6)．(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(0)＝－12，当2x－π6＝5π6，即x＝π2时，f(π2)＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.[互动探究]在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．解析由(1)知f(x)＝sin(2x－π6)∴sin(2x－π6)＝0∴2x－π6＝kπ(k∈Z)x＝k2π＋π12(k∈Z)，∴函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ2＋π12，k∈Z}．[规律方法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．[跟踪训练]3．已知函数f(x)＝2cosxcosx－π6－3sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．解析(1)因为f(x)＝2cosx·cosx－π6－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，所以最小正周期T＝π.(2)由f(α)＝1，得2sin2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.(2012·湖北高考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，23cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈12，1.【创新探究】三角函数的综合应用(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点π4，0，求函数f(x)在区间0，3π5上的取值范围．【思路导析】(1)求出f(x)后利用三角变换化简f(x)，由函数图象关于x＝π对称建立关系式求ω得出T.(2)利用fπ4＝0代入后求出ωx＋φ的范围可得取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－π6＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈12，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点π4，0，得fπ4＝0，即λ＝－2sin56×π2－π6＝－2sinπ4＝－2.故f(x)＝2sin53x－π6－2.由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin53x－π6≤1，得－1－2≤2sin53x－π6－2≤2－2，故函数f(x)在0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．【高手支招】第一步：理清题意化简f(x)为Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：利用条件确定f(x)中的参数值；第三步：根据问题研究f(x)相关的性质；第四步：求解得结论并回顾解题过程．[体验高考]1．(2013·天津高考)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋π4)＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[0，π2]上的最大值和最小值．解析(1)f(x)＝－2sin2x·cosπ4－2cos2x·sinπ4＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝22sin(2x－π4)．所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间[0，3π8]上是增函数，在区间[3π8，π2]上是减函数，又f(0)＝－2，f(3π8)＝22，f(π2)＝2，故函数f(x)在区间[0，π2]上的最大值为22，最小值为－2.2．(2013·北京高考)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的