第12章 级数

第二节幂级数*第三节傅里叶级数第一节数项级数及其敛散性第十二章级数一、数项级数及其性质二、正项级数及其敛散性三、交错级数及其敛散性四、绝对收敛与条件收敛第一节数项级数及其敛散性1.数项级数的概念定义1设给定一个数列,2,1uu…,nu，…，则式子3121uuuunn＝…+nu+…称为常数项无穷级数，简称数项级数，其中第n项nu称为一般项或通项．例①算术级数)2()(121dadaa…＋（))1(1dna…②等比级数（几何级数）2111qaqaa…+11nqa+…，一、数项级数及其性质③p-级数11312111nppppnn….定义２设级数1nnu的前n项之和为121nnnkkSuuuu称nS为级数1nnu的前n项部分和.当n依次取,3,2,1时，得到一个新的数列11uS,212uuS,,,21nnuuuS数列nS称为级数1nnu的部分和数列.若此数列的极限存在，即SSnnlim(常数)，则称S为级数1nnu的和，记作1nnSu此时称级数1nnu收敛.如果数列{nS}没有极限，则称级数1nnu发散，这时级数没有和.当级数收敛时，其部分和nS是级数S的近似值，称nSS为级数的余项，记作nr，即21nnnnuuSSr.)1ln()ln)1(ln()2ln3(ln)1ln2(ln21nnnuuuSnn，所以)1ln(limlimnSnnn，由定义级数11lnnnn是发散的.解注意到nnnnunln)1ln(1ln例1考察级数11lnnnn的敛散性.所以)12(limlimnnnnS，级数是发散的.例3考察级数11)1(nn的敛散性.解这是公比为-1的几何级数，即11111它的部分和数列是1,0,1,0,…，显然nnSlim不存在,所以级数是发散的.例2考察级数128421n的敛散性.解这是公比为2的几何级数，1212nnS.63.0n1003610036100361003632，这是公比为1001的几何级数,由等比数列求和公式10011)10011(10036nnS所以1149936100111003610011)10011(10036limlimnnnnS　，这个无穷级数的和为114,即63.0114.解把63.0化为无穷级数例4把循环小数63.0化为分数.2.数项级数的基本性质性质1级数1nnu与级数1nnku(常数0k)敛散性相同,且若1nnu收敛于S,则1nnku收敛于kS.性质2若级数1nnu与1nnv分别收敛于β与α,则级数1)(nnnvu收敛于αβ.性质3添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变.性质4(两边夹定理)如果nu≤nv≤nw,且1nnu和1nnw都收敛,则1nnv也收敛.性质5(级数收敛的必要条件)若级数1nnu收敛,则.0limnnu证设Sunnlim,由于1nnnSSu,所以0limlim)(limlim11SSSSSSunnnnnnnnn.例6判别级数112)1(nnnn的敛散性.解由于12)1(limnnnn不存在,由性质5可知此级数是发散的.例7证明：调和级数11nn虽有01limnn，但是它是发散的.证我们利用定积分的几何意义加以证明.调和级数部分和nknkS11，如图所示.考察曲线1,1,1nxxxy和0y所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积nA之间的关系，O1/2y11234nn+1x可以看到阴影部分的第一个矩形面积1A=1，第二个矩形面积212A，第三个矩形面积313A，……，第n个矩形面积1nAn，所以阴影部分的总面积为nknknnknAA111131211，它显然大于曲边梯形的面积S，即有)1ln(ln111111nxdxxAAnnnkkn，而)1(limnn，表明nA的极限不存在，所以该级数发散.正项级数：若nu≥0，则级数1nnu称为正项级数.定理1正项级数1nnu收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.证对于正项级数1nnu，由于nu≥0，因而11nnnuSS≥nS，所以正项级数1nnu收敛的充分必要条件是，它的部分和二、正项级数及其敛散性数列{nS}有界，显然nnSlim存在，从而级数1nnu收敛；若{nS}无界，则nnSlim，从而级数1nnu发散.例8证明正项级数0!1!21!111!1nnn＋是收敛的.证因为nn3211!1≤),4,3,2(21222111nn　，于是对于任意的n，有.3213211211121212111)!1(1!21!1112122nnnnnS即正项级数的部分和数列有界，故级数0!1nn收敛.定理2（比较判别法）设1nnu和1nnv是两个正项级数，且nu≤nv，（1）若级数1nnv收敛,则级数1nnu也收敛;（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.例9讨论p级数)0(13121111pnnpppnp的敛散性.解当p≤1时，pn1≥n1，因为11nn发散，所以由比较判别法知，p≤1时，11npn发散.当1p时,顺次把p级数的第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项,……括在一起,得)15181()71615141()3121(1pppppppp　，它的各项显然小于级数31211)21()21(211)8181()4141()2121(1ppppppppp　对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为,1211pq故收敛,于是当1p时,级数11npn收敛.例10判定级数)4)(1(1631521nn的敛散性.解因为级数的一般项)4)(1(1nnun满足而级数121nn是2p的p级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.21)4)(1(10nnn　，（1）当q1时，级数收敛；（2）当q1时，级数发散；（3）当q=1时级数可能收敛，也可能发散.例11判别下列级数的敛散性：（1）1223nnnn;（2）1)!1(1nn设1nnu是一个正项级数，并且quunnn1lim，则定理3(达朗贝尔比值判别法)1212132limlim(1)23nnnnnnnnunun解.,12311123lim)1(23lim222nnnnn所以级数1223nnnn发散.解1(1)!1limlimlim01.!nnnnnununn所以级数1)!1(1nn收敛.（2）1)!1(1nn交错级数：设0nu,则级数nnnu11)1(称为交错级数.定理4（莱布尼茨判别法）如果交错级数nnnu11)1((),2,1,0nun满足莱布尼茨（Leibnizi）的条件：（1）nu≥1nu（n=1,2,…），（2）,0limnnu则交错级数nnnu11)1(收敛.三、交错级数及其敛散性例12判定交错级数nn1)1(41312111的敛散性.解此交错级数,11,11nununn满足：（1）;111nn（2）01limlimnunnn，由定理4知它是收敛的.定义3若1nnu收敛，则称1nnu是绝对收敛的，若只是1nnu收敛而1nnu发散，则称1nnu是条件收敛的.定理5绝对收敛的级数必是收敛的.证如果1nnu收敛，由于nu≤nu≤nu，故从性质1及性质4知1nnu也是收敛的.四、绝对收敛与条件收敛例13判定级数12sinnnna的敛散性.解考虑级数12sinnnna，由于0≤nna2sin≤n21而级数121nn收敛，由两边夹定理知级数12sinnnna是收敛的.根据定义3，12sinnnna是绝对收敛的.由定理5知它也是收敛的.1.级数收敛的必要条件所起的作用是什么?2.判定一个级数是否收敛，有哪几种方法?思考题一、幂级数的概念二、幂级数的性质三、将函数展开成幂级数四、幂级数应用第二节幂级数1.函数项级数函数项级数:如果级数1)(nnxu=)()()(21xuxuxun的各项都是定义在某个区间上的函数，则称为函数项级数,)(xun称为一般项.收敛点与收敛域：当x在区间I中取某个特定值0x时,级数1)(nnxu就是一个数项级数.如果这个数项级数收敛，则称0x为级数的一个收敛点；如果发散，则称0x为这个级数的发散点.一个级数的收敛点的全体称为它的收敛域.一、幂级数的概念和函数：对于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一个收敛域内的数项级数,因此有一个确定的和S.这样，在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xS,通常称)(xS为函数项级数的和函数,即)(xS=)()()(21xuxuxun.其中x是收敛域内的任意一点.将函数项级数的前n项和记作)(xSn则在收敛域上有)()(limxSxSnn.形如00()nnaxx2010200()()()nnaaxxaxxaxx①的函数项级数,称为0xx的幂级数,其中常数0a,,,,,21naaa称为幂级数的系数.当0x=0时，上式变为nnnxa0nnxaxaxaa2210②称为x的幂级数,如果作变换0xxy,则级数①就变为②.因此,下面只讨论形如②的幂级数.2.幂级数的概念（1）幂级数的收敛半径由于级数②各项可能符号不同，将级数②的各项取绝对值,则得到正项级数nnnnnxaxaxaaxa22100,设当n充分大时,na≠0,且ρaannn1lim,则.limlimlim1111ρxxaaxaxauunnnnnnnnnnn于是,由比值判别法，可知：当≠0时，若x1,即1xR，则级数②收敛；若1x，即1xR，则级数②发散.这个结果表明，只要0，就会有一个对称开区间),(RR在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，Rx时，级数可能收敛可能发散.称1R为幂级数②的收敛半径.当=0时，01x，级数②对一切x都绝对收敛，这时规定收敛半径R.如果幂级数仅在0x一点处收敛，则规定收敛半径0R，由此可得定理1如果以上幂级数②的系数满足ρaannn1lim，则①当ρ0时，ρR1；②当0ρ时，R=+∞；③当ρ，0R.（2）幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为R，则),(RR称为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.我们把收敛区间的端点Rx代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.例1求幂级数0!nnnx的收敛半径与收敛域.解因为011lim)!1(!limlim1nnnaannnnn,所以所给幂级数的收敛半径R收敛域为（－∞，＋∞）.例2求幂级数1nnnx的收敛半