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第二章相交线与平行线初中数学（北师大版）七年级下册知识点平行线的性质性质1性质2性质3平行线的性质两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,即两直线平行,同位角相等两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,即两直线平行,内错角相等两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,即两直线平行,同旁内角互补图例 符号语言如果AB∥CD,那么∠1=∠2如果AB∥CD,那么∠2=∠3如果AB∥CD,那么∠2+∠4=180°平行线的判定与性质的区别及联系(1)平行线的性质描述的是“数量关系”,它的前提是两直线平行,结论是角相等或互补,是由“位置关系”到“数量关系”;(2)平行线的判定是以角的相等或互补为前提,推导出两直线平行,是从“数量关系”到“位置关系”例如图2-3-1所示,已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=107°,求∠2,∠3的度数.图2-3-1解析因为a∥b,所以∠2=∠1=107°(两直线平行,内错角相等).因为c∥d,所以∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠3=180°-∠1=180°-107°=73°.题型巧添平行线解题例如图2-3-2,AB∥CD,E,F分别是AB,CD之间的两点,且∠BAF=2∠EAF,∠CDF=2∠EDF.(1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并说明理由;(2)求出∠AFD与∠AED之间的数量关系. 图2-3-2解析(1)∠AED=∠BAE+∠CDE.理由如下:过点E作EG∥AB,如图2-3-3.因为AB∥CD,所以AB∥EG∥CD.所以∠AEG=∠BAE,∠DEG=∠CDE,因为∠AED=∠AEG+∠DEG,所以∠AED=∠BAE+∠CDE.图2-3-3 (2)因为∠BAF=2∠EAF,∠CDF=2∠EDF,所以∠BAF= ∠BAE,∠CDF= ∠CDE,同(1)可得∠AFD=∠BAF+∠CDF.所以∠AFD= (∠BAE+∠CDE)= ∠AED.点拨解决有关图形的计算和推理问题的方法:经过拐点作平行线,沟通已知角和未知角,从而化“未知”为“可知”.这种方法应熟练掌握.如“ ”“ ”“ ”型,要引起注意.23232323知识点平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截,不一定相等的角是 ()A.对顶角B.内错角C.同位角D.同旁内角答案D两条平行线被第三条直线所截,根据对顶角相等和平行线的性质可得不一定相等的角是同旁内角.2.如图2-3-1,已知直线AB∥CD,且直线EF分别交AB、CD于M、N两点,NH是∠MND的平分线,若∠AMN=56°,则∠MNH的度数为 () 图2-3-1A.28°B.30°C.34°D.56°答案A因为AB∥CD,所以∠MND=∠AMN=56°,又因为NH是∠MND的平分线,所以∠MNH= ∠MND= ×56°=28°.12123.如果两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的度数之比是2∶7,那么这两个角分别为°,°.答案40;140解析设其中的一个角为2α,则另一个角是7α,由题意得2α+7α=180°,所以α=20°,所以2α=40°,7α=140°.4.如图2-3-2,小明课间把老师的直角三角板放在黑板的两条平行线a、b上,已知∠1=55°,则∠2的度数为. 图2-3-2答案35°解析如图,因为a∥b,∠1=55°,所以∠3=∠1=55°.又因为∠ACB=90°,所以∠2=180°-∠ACB-∠3=180°-90°-55°=35°. 5.图2-3-3是我们生活中经常接触的小刀,刀柄的外形是一个直角梯形(下底挖去一小半圆),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成∠1、∠2,则∠1+∠2=°. 图2-3-3答案90解析如图,因为刀片上、下是平行的,所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).因为刀柄的外形是一个直角梯形,所以∠4=90°.因为∠1+∠3+90°=180°(三角形的内角和为180°),所以∠1+∠3=90°.又因为∠2=∠3,所以∠1+∠2=90°(等量代换). 6.如图2-3-4,直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行,若量角器的一条刻度线OF的读数为70°,OF与AB交于点E,那么∠AEF=度.图2-3-4答案70解析直尺的对边互相平行,∠COF与∠AEF是同位角,又∠COF=70°,根据“两直线平行,同位角相等”,得∠AEF=70°.7.如图2-3-5,A在C的北偏西30°方向,B在C的北偏东45°方向,A在B的北偏西70°方向,求∠BAC的度数. 图2-3-5解析解法一:过点A作AG∥CF,如图, 因为BE∥CF,所以AG∥CF∥BE,所以∠GAB=∠ABE=70°,∠GAC=∠ACF=30°,所以∠BAC=∠GAB-∠GAC=40°.解法二:因为BE∥CF,所以∠EBC+∠BCF=180°,即∠EBA+∠ABC+∠BCF=180°,因为∠EBA=70°,∠BCF=45°,所以∠ABC=65°,又因为∠ACB=∠ACF+∠FCB=75°,所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°.8.如图2-3-6,一条铁路到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的∠A是105°,第二次拐的∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的铁路恰好和第一次拐弯之前的铁路平行,那么∠C应为多少度? 图2-3-6解析如图,过点B作BE∥CD. 因为CD∥AF,所以BE∥AF,所以∠ABE=∠A=105°,所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,又因为BE∥CD,所以∠CBE+∠C=180°,所以∠C=150°.9.如图2-3-7,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.试说明:DG∥BA.完成下列推理过程.∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴∠EFB=90°,∠ADB=90°(),∴∠EFB=∠ADB(等量代换),∴EF∥AD(),∴∠1=∠BAD(),又∵∠1=∠2(已知),∴(等量代换),∴DG∥BA().图2-3-7解析垂直的定义;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;∠BAD=∠2;内错角相等,两直线平行.10.如图2-3-8所示,已知∠1=72°,∠2=108°,∠3=69°,求∠4的度数. 图2-3-8解析∵∠1=72°,∠2=108°,∴∠1+∠2=72°+108°=180°,∴c∥d,∴∠4=∠3.∵∠3=69°,∴∠4=69°.1.如果两条平行线被第三条直线所截,那么一组内错角的平分线 ()A.互相垂直B.互相平行C.互相重合D.以上均不正确答案B如图,∵AB∥CD,∴∠BMG=∠DGM.∵MN平分∠BMG,∴∠1=∠2= ∠BMG,∵GF平分∠DGM,∴∠4=∠3= ∠DGM.∴∠1=∠4,∴MN∥FG.故选B. 12122.如图,三角形ABC的三个顶点分别在直线a,b上,且a∥b,若∠1=120°,∠2=80°,则∠3的度数是 ()A.40°B.60°C.80°D.120°答案A因为a∥b,所以∠1=∠2+∠3=120°,又因为∠2=80°,所以∠3=120°-∠2=120°-80°=40°.3.如图,已知∠1=∠2=∠3=55°,则∠4的度数是 () A.110°B.115°C.120°D.125°答案D如图,∵∠1=∠2,∠2=∠5, ∴∠1=∠5(等量代换),∴a∥b(同位角相等,两直线平行).∴∠3+∠6=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠6=180°-∠3=125°,∴∠4=∠6=125°(对顶角相等).4.一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD),如图,如果第一次转弯时的∠B=140°,那么∠C应是. 答案140°解析若AB∥CD,则有∠C=∠B=140°.5.如图,直线AD∥BE,AC、BC分别平分∠BAD、∠ABE,∠CAD=55°,则∠CBE=.答案35°解析∵AD∥BE,∴∠DAB+∠ABE=180°,∵AC、BC分别平分∠BAD、∠ABE,∴∠DAB=2∠CAD=110°,∠ABE=2∠CBE,∴∠ABE=180°-∠DAB=70°,∴∠CBE= ∠ABE=35°.126.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠B和∠D相等吗?为什么? 解析∠B和∠D相等.因为AB∥CD,AD∥BC(已知),所以∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠B=∠D(同角的补角相等).1.如图2-3-9,直线a∥b∥c,直角∠BAC的顶点A在直线b上,两边分别与直线a,c相交于点B,C,则∠1+∠2的度数是 () 图2-3-9A.180°B.210°C.270°D.360°答案C如图,∵a∥b∥c,∴∠2+∠4=180°,∠1+∠3=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.∵∠BAC是直角,∴∠3+∠4=90°,∴∠1+∠2+90°=360°,∴∠1+∠2=270°,故选C. 2.如图2-3-10,四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=°. 图2-3-10答案95解析∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°,由翻折的性质得∠BMN= ∠BMF=50°.同理,∠BNM= ∠BNF=35°.则∠B=180°-50°-35°=95°.12123.如图2-3-11,如果DE∥AB,那么∠A+=180°或∠B+=180°,根据是;如果∠CED=∠FDE,那么∥,根据是. 图2-3-11答案∠AED;∠BDE;两直线平行,同旁内角互补;DF;AC;内错角相等,两直线平行4.如图2-3-12,已知∠BAE+∠AED=180°,AM平分∠BAE,EN平分∠AEC,试说明:∠M=∠N. 图2-3-12解析因为∠BAE+∠AED=180°,所以GB∥CD,所以∠BAE=∠AEC.又因为AM平分∠BAE,EN平分∠AEC,所以∠MAE= ∠BAE,∠AEN= ∠AEC.所以∠MAE=∠AEN,所以AM∥NE,所以∠M=∠N.12125.如图2-3-13,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐弯的角∠A=110°,第二次拐弯的角∠B=150°,第三次拐弯的角为∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行,求∠C的度数. 图2-3-13解析如图,过点B作MN∥AE,所以∠ABM=∠A=110°.所以∠MBC=∠ABC-∠ABM=150°-110°=40°.由题意可知AE∥CF,所以MN∥CF,所以∠C=180°-∠MBC=180°-40°=140°. 1.如图,已知:AB∥DE,∠1=∠2,直线AE与DC平行吗?请说明理由. 解析AE∥DC.理由:∵AB∥DE(已知),∴∠1=∠AED(两直线平行,内错角相等),又∵∠1=∠2(已知),∴∠2=∠AED(等量代换),∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行).2.如图,潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的,光线经过镜子反射时,有∠1=∠2,∠3=∠4.请说明为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是互相平行的. 解析因为两个镜子是平行放置的,所以∠2=∠3,又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4),即∠5=∠6,因此进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的.3.如图所示,AB∥CD∥EF,BC∥DE,∠B=70°,则∠E的度数为多少? 解析因为AB∥CD∥EF,所以∠B=∠C,∠E=∠D(两直线平行,内错角相等).又BC∥DE,所以∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠B+∠E=180°(等量代换).因为∠B=70°,所以∠E=180°-∠B=180°-70°=110°.一、选择题1.(2017福建南平育才中学期末,1,★☆☆)如图2-3-14,AB∥EF,则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是 () 图2-3-14A.∠A+∠C+∠D+∠E=360°B.∠A+∠D=∠C+∠EC.∠A-∠C+∠D+∠E=180°D.∠E-∠C+∠D-∠A=90°答案C分别过C、D作l1∥AB,l2∥EF,如图,则l1∥l2∥AB∥EF,∴∠A=∠1,∠2=∠3,∠4+∠E=180°