北京大学数学物理方法经典课件第五章——傅里叶变换

2学习要求与内容提要目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里叶级数展开法；掌握周期函数的傅里叶展开、定义和性质；δ函数的定义与性质。重点：难点：傅里叶变换、δ函数。δ函数的概念。31807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:•“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”•——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点5.1傅里叶级数41.波的叠加在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.（一）周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波otu11tttu0,10,1)(当当可以用不同频率正弦波叠加构成！5tusin4)3sin31(sin4ttu)5sin513sin31(sin4tttu6)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.)7sin715sin513sin31(sin4ttttu7[-l,l]上的积分等于0.①其中任意两个不同的函数之积在2.三角函数族及其正交性引入三角函数族上的积分不等于0.②两个相同的函数的乘积在[-l,l]8证:1cosdllkxxl1sind0llkxxlsin0lllkxklcosdlllkxkxkll同理可证:①任意两个不同的函数之积在[-l,l]上的积分等于0.912cos()cos()dllxxknknxllcoscosdllkxnxxll0sinsind0llkxnxxll同理可证:cossind0llkxnxxll)(nk1011d2llxl2sindllkxxl2cosd1cos2d2llllkxxlkxlxl1cos2d2llkxlxl②两个相同的函数的乘积在[-l,l]上的积分不等于0.证:11如果周期为2l的函数f(x)满足收敛定理条件,则它可以展开式为下列级数(在f(x)的连续点处)3.周期函数的傅里叶展开①式①称为f(x)的傅里叶级数.式中a0,ak,bk称为函数f(x)的傅里叶系数;问题:a0,ak,bk等于什么?我们利用三角函数族的正交性来求解1201()ddcosdsind2llllkkkllllakkfabll对①在[-l,l]逐项积分,得0()cosdcosd2llllakkfll01()dllafl1ncoscosdlnlknallcossindlnlknbll2cosdlklkal①乘在[-l,l]逐项积分并运用正交性,得coskl由三角函数的正交性0由三角函数的正交性得0n=k由三角函数的正交性0131()cosdlklkafll),2,1(k1()sind(1,2,)lklkbfkll类似地,用sinkπξ/l乘①式两边,再逐项积分可得1()cosd(0,1,2,)lklkafkll1()sind(1,2,)lklkbfkll归纳:14(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，且在收敛点有：01ππ()(cossin)kkkkxkxfxaabll在间断点有：0112ππ[()()](cossin)kkkkxkxfxfxaabll狄里希利定理:若函数f(x)满足条件：4.傅里叶级数的收敛性定理注:第一类间断点如果f(x)在间断点x0处左右极限存在,则称点x0为f(x)的第一类间断点.15()sind(1,2,)kkbfkl其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为奇函数,则a0和ak均为零，即有傅里叶正弦级数（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开1()cosd(0,1,2,)lklkafkll1()sind(1,2,)lklkbfkll说明：16如果f(x)为偶函数,则bk为零，即有傅里叶余弦级数(在f(x)的连续点处)02()cosd(0,1,2,)lkkafxkll其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数都收敛于1()cosd(0,1,2,)lklkafkll1()sind(1,2,)lklkbfkll说明：17当函数定义在任意有限区间上时,变换法令2,lxz即2lzx2()()(),lFzfxfzz22,ll在22,ll上展成傅里叶级数()Fz周期延拓将2lzx在回代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:（三）有限区间中的函数的傅里叶展开*(自学)18延拓法在0,l上展成正弦或余弦级数()fx奇或偶式周期延拓19利用欧拉公式已知周期为2l的周期函数f(x)可展开为级数：012kπkπ()cossinkkkaxxfxabll12kπkπiikπcoseexxllxl12kπkπiikπsineeixxllxl01()22kkaafxi2kb01i22kkkaabi2kkabπiekxlπiekxl0ckckc（四）复数形式的傅里叶展开2012πi()edklllfl12()dllfl200aci11kπ()cosd22lkkklabcflliπ()sindllkfll1kπkπ()cosisind2llflll1122πi()ed(,,)klllfkl注意到i2kkkabc同理(1,2,)k21傅里叶级数的复数形式:i1()ed2kllklcfli()ekxlkkfxc(0,1,2,)k因此得22例2：矩形波1(2,(21))()1((21),2)mmfxmmi(),kxkkfxce0iii0111()11222kkkkcfededed212121i()()inxnfxenx1102i0i01111()()2i2ikkeekk0(2)2(21).i(21)knknn解：coskπk=2n:coskπ=1k=2n+1:coskπ=-11{[1(1)][(1)1]}2ikkk231.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20a(x间断点)其中(0,1,)k(1,2,)k当f(x)为奇(偶)函数时,为正弦(余弦)级数.2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3.傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出24•1•22525周期函数的性质是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期2l∞的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。5.2傅里叶积分与傅里叶变换考察复数形式的傅里叶级数:i1()ed2kxlllkfxxlci()ekxlkkfxc(0,1,2,)k（一）傅里叶变换2626非周期函数的复数形式的形式“傅里叶级数”:i1()ed2kxlllkfxxlci()limekxllkkfxc(0,1,2,)k引入新参量：1/kkkli()ed2lxkklkfxcxi()limekxklkfxc/(0,1,2,)kklk上式改写为：2727令i()()ed.xfxF有i12()()ed,xFfxx若有限，则非周期函数可以展开为lim()lllfdii()lim()ede2lxkkkllkfxfii1()limeed2xkkklkfii()ede12xfd称f(x)的傅里叶变换称F(ω)的逆傅里叶变换像函数原函数1lim/0;dklklkkl注意到：2828傅里叶积分定理：若函数f(x)在区间(-，+)上满足条件:(1)在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即收敛），则f(x)可表为傅里叶积分，且傅里叶积分值=[()()]/2fxfx()fxdxf(x)的傅里叶变换式i()()ed.xfxFi1()()ed,2xfxFfxxF29奇函数与偶函数的傅里叶变换傅里叶变换对i()()dxfxFe-i-iii11()dd2π2π1()dd2π1()cosdd2πi()sindd2()()dπxxttxFexexFexFtxxFtxfFxxe-i1()()d2πxFfxex30当f(x)是偶函数000()1()cosddπdd1i()cosd()sindππxxxFFtFtxFtxx当f(x)是奇函数01()()sinddπFFtxx进一步注意到coscoscossinsintxtxtx000()cosd22()cosdcosdππFxxxxFtfx当f(x)是偶函数同理,当f(x)是奇函数000()sind22()sindsindππFxxxxFtfx3131例100011,(),2rect()10,().2xxaxxaxxa定义:矩形函数为0x1ax()fxx将矩形脉冲展开为傅里叶积分。()rect()2fhttT0hTT()ftti1[()]rect()d22ttfxhetTF解:矩形脉冲函数的周期为[-T,T],如右图.246810-0.20.20.40.60.8112i-isin-ikxkxllkxeeliid22iTttTTThhetesin.hT32(1)导数定理i1[]d2d()'()dxfxfxxexF（二）傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，lim()0xfxii11['()]()di()di.22xxfxfxexfxexF