数学物理方法-留数定理及其应用

数学物理方法2015.02第五章留数定理及其应用第一节留数及留数定理第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02留数的概念则称f(z)的Laurent级数中(z-z0)-1的系数a-1为f(z)在z0点的留数（也称残数），记为,0nnnzzazfzfzz0Res0Reszf或设z0是函数f(z)的孤立奇点，则由Laurent定理知：在z=z0点的某个去心邻域内f(z)可展开成Laurent级数第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02系数a-1的特殊作用如何计算留数，或系数a-1000||||12nnnzzzzfzdzazzdziaz0第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02留数的计算方法(1)一般方法：利用留数的定义来求留数(2)根据孤立奇点的类型来计算留数0Res0zfzz(A)可去奇点zfzzdzdmzfmmmzzzz01100lim!11Res(B)m级极点(C)本性奇点按第一种方法来计算第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02求留数举例求函数在z=1处的留数11nzzf例1试确定函数的极点，并求f(z)在这些极点处的留数zzfsin1例2试确定函数的极点，并求f(z)在这些极点出的留数3542zzizzf例3第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02留数定理设函数f(z)在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zN外解析，并且直到边界连续，则有NjjCzfidzzf1)(Res2BCz1z2zNBCz1z2zN第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02留数定理的应用21()2fzzz设计算积分2||1(01)2zdzzz例1奇点一级极点211z01zz2||12Res()2zdzifzzz212()1iizz第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02计算积分例2dzzzezz122||计算积分例3dzzzz142||计算积分例4dzzzezz22||)1(第一节留数及留数定理数学物理方法2015.02Newton-Leibnitz公式)()()(aFbFdxxfba其中函数F(x)是函数f(x)的原函数困难：求原函数问题：寻找一条新的方法定积分的计算20cos11ddxx)sin(20dxx)cos(20第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02设函数f(z)在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zN外解析，并且直到边界连续，则有NjjCzfidzzf1)(Res2BCz1z2zN其中可去奇点：m级极点：本性奇点：0Res0zfzzzfzzdzdmzfmmmzzzz01100lim!11Res10Resazfzz第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02建立定积分与复变函数闭合回路积分的关系1.利用复值函数建立实参数到复平面中的闭合曲线的变换baCdttztzfdzzf)())(()(ABCbattzz:),(ab()izze02例1dzdiz第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.022.利用实函数到复函数的自然扩张()()fxfz()()bbaafxdxfzdz()()()baCfxdxfzdzfzdzababC第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02利用留数定理计算实积分的步骤：将实积分化成闭合回路的复积分利用留数定理计算留数第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02类型一20sin,cosdR其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为[0,2]2**0||1111cos,sin(),()22zRdRzzzzdziizize0102第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.0220sincos231d例2：20cos11d例1：其中01举例：2*102||1111cos1()zdzdzziz222||121222(1)11zidzizzi第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02类型二dxxf其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(-,)无穷积分的收敛性柯西主值limRRRRfxdxfxdx.limRRRvpfxdxfxdx.fxdxvpfxdx第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02CRO-RR})({2)(处的留数和在上半平面内所有奇点zfidxxf成立的前提:(1)f(z)在上半平面只有有限个奇点(2)0)(limRCRdzzf将实积分化成闭合回路的复积分limRRRfxdx利用留数定理()()RRRCCfzdzfxdxfzdz第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02说明I：对于条件(2)1.在什么条件下有成立引理：若zf(z)0(z)，则有2.关于条件zf(z)0(z)的一点说明3.例子0)(limRCRdzzf0)(limRCRdzzf22)1(xdxOz=ixyz=-i221()(1)fzz2212Res()(1)zidxifzx第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02dxxdxx3cosh1,cosh1对于条件(1)1.当函数f(z)在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理2.例子说明II：奇点z=/2i,3/2i,第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02奇点z=/2i,3/2i,，周期2iC001cosh11coshcosh()11cosh()cosh()RRRRdzzdxdxxxiidyidyRiyRiyR111cosh2coshCdxdzxz/2Res()ziifzy=O-RRy=0y=/21coshdxx计算积分1()coshfzz设第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02•问题：3coscos,coshcoshxxdxdxxx计算积分2411,coshcoshdxdxxx计算积分思考：第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02类型三dxexfimx})({2)(处的留数和在上半平面内所有奇点imzimxezfidxexf成立的前提:(1)f(z)在上半平面只有有限个奇点(2)0)(limRCimzRdzezfCRO-RR其中被积函数f(x)在实轴上无奇点；积分区间为(-,),m0第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02说明I：对于条件(2)1.在什么条件下有成立约当引理：若f(z)0(z)，则有2.关于条件f(z)0(z)的一点说明3.例子：计算积分0)(limRCimzRdzezf0)(limRCimzRdzezf021sindxxxxOz=ixyz=-i2()1zfzz22sin12Res()11ixizzixxxedxdxfzexix第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02dxxedxxeixix3cosh,cosh对于条件(1)1.当函数f(z)在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理2.例子说明II：奇点z=/2i,3/2i,第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02y=O-RRy=0y=/2奇点z=/2i,3/2i,，周期2iC00coshcoshcosh()cosh()cosh()izixixRRRRiRyiRyedzzeedxdxxxieeidyidyRiyRiyR1cosh1coshixizCeedxdzxez/22Res()1izziifzeecoshixedxx计算积分1()coshfzz设第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02思考：24coscos,coshcoshxxdxdxxx计算积分第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02实轴上有奇点的情况计算积分dxxxsin0例1计算积分dxxxx)1(sin20例2第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02补充例题计算积分)10(110dxxx例1CR-RRC-11112111()1111RCiRRCCzdzzxzxezdxdzdxdzxzxz121ziz在围道内所有奇点处的留数和101sinxdxx第二节应用留数定理计算实函数的积分数学物理方法2015.02计算菲涅尔积分dxx)sin(20例2dxx)cos(202222/20/40iRRizixiziireRCCedzedxedzeedr222000cos()sin()ixedxxdxixdx22/400(1)8ixiredxeedriRiRe/4ire0第二节应用留数定理计算实函数的积分012345-1-0.500.51