北京大学数学物理方法经典课件第一章——复变函数

2020/3/312020/3/32教材及指导书一、教材：梁昆淼编，《数学物理方法》，第四版，高等教育出版社，2010年1月二、主要的参考书：胡嗣柱等编著，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，2002年7月成绩测定：作业20%＋上课出席参与10%＋考试70%联系方式：[e-mail]2020/3/33参考书：LarsV.Ahlfors著，赵志勇等译，《复分析》机械工业出版社，2005。复变函数论（theoryofcomplexfunctions）的目的：把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意义。2020/3/34主要内容:1复变函数2复变函数的积分3幂级数展开4留数定理5傅立叶变换6拉普拉斯变换2020/3/352020/3/36目的与要求：掌握复变函数的基本概念、极限和连续的概念、掌握解析函数的概念、函数解析的充要条件、初等函数的定义教学重点：极限和连续的概念、柯西-黎曼条件、复变函数的解析性；教学难点：解析函数的概念学习要求与内容提要2020/3/371.0问题的提出负数有对数吗？Bernoulli：负数的对数是实数d()dln()lnxxxxxxLeibniz：不可能有负数的对数ddlnxxx只对正数成立Euler：在1747年指出ln(),lnxx差一常数1740年，Euler给Bernoulli的信中说：2cosyx11xxyee和是同一个微分方程的解，因此应该相等1743年，发表了Euler公式11111cos21sin21xxxxxeexee2020/3/381.虚单位对虚数单位的规定:2(1)i1;i11.1复数与复数运算.1:2在实数集中无解方程实例x.)2(四则运算样的法则进行可以与实数在一起按同i为了解方程的需要,引入一个新数i,称为虚数单位.(一)复数的基本概念2020/3/392.复数的定义:i-虚单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=y实部记做：Rez=x{}称为为复数集,,|RyxiyxzzC.,,为复数称对于iyxzRyx;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当2020/3/310两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说:112221=,zzxxyy设：z1=x1+i·y1z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!2020/3/3113.复数的几何表示xyxyoizxy复数的矢量表示法.),(表示面上的点可以用复平复数yxiyxz+=.矢量表示面上的复可以用复平复数oziyxz..,,,.),(面面叫复平这种用来表示复数的平轴叫虚轴或纵轴轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数yxyxiyxz+=(1)笛卡尔坐标2020/3/312（２）极坐标icosisinz=xy=.显然下列各式成立,zx,zy,yxz.22zzzz,复矢量的长度称为z的模或绝对值22cossinarctanxyxyyxxyxyoizxyPρ如图引入：那么复数（复矢量）可以表示为22z=ρ=x+y.复数的三角表示式2020/3/313（３）复数的辐角说明辐角不确定..Arg,,,0zzopzz记作的辐角称为为终边的角的弧度数的向量以表示以正实轴为始边的情况下在,0有无穷多个辐角任何一个复数z,是其中一个辐角如果的全部辐角为那么z).(π2Arg为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地xyxyoizxyPρ2020/3/314辐角主值的定义:zargarctan,yx)2arctan2(ppxy其中z≠0辐角的主值z在第I象限z在第II,III象限z在第IV象限arctan2,pyxarctan,yπx在z(≠0)的辐角中，把满足０φ2π的φ称为Argz的主值，记作φ＝argz2020/3/315复数三角函数表示式(cossin)iz利用欧拉公式cosisin,ie复数可以表示成ize复数的指数表示式4.复数的指数函数表示2020/3/316设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数加减z1±z2=(x1+y1)±i(x2+y2)=(x1±x2)+i(y1±y2)（二）复数的运算规则(注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)1212zzzz1212zzzz2020/3/317乘法12121212211212121212()()cos()sin()exp[()]zzxxyyxyxyiii两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法11212122122222222222112122211220cos()sin()0exp[()]iiiizxxyyxyxyxyzxyxy两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减交换律、结合律、分配律成立2020/3/318开平方如果给定复数为，我们来求其的开平方。设有一个新复数，使得ixyi(0)22222222224xyxyxy2iixy这等价于方程组2222xy222xyxy由上述方程有因此必须有（1）（2）（3）2020/3/319由式（1）和（3），可得出2212y2212x2222ii22考虑到式（2），通过选择使xy积的符号与β相同，则有由（4）式，可以得出x和y各有两符号相反的值。（4）逼近000,yyxxzz2020/3/320共轭共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解(i)(i)xyxy22(i)xy.22yx222.zzzxy即：.,的积是实数两个共轭复数zz结论：.的积与计算共轭复数yixzyixz,的zz共轭复数记为.,iyxziyxz则若222()2izxyxy注意:2020/3/321共轭复数的性质:;)1(2121zzzz;2121zzzz;2121zzzz;)2(zz;)Im()Re()3(22zzzz(4),2Re).2(()Imizzzzzz以上各式证明略.2020/3/322例3证21(1)zz)()(2121zzzz))((2121zzzz))((2211zzzz.21zz221(2)zz)()(2121zzzz))((2121zzzz21212211zzzzzzzz21212221zzzzzz.(2);(1):,,2121212121zzzzzzzzzz证明为两个任意复数设2020/3/323221zz2221zz)Re(221zz2212122zzzz2122212zzzz,)(221zz,)Re(2212121zzzzzz因为两边同时开方得.2121zzzz1212.zzzz同理可证：2020/3/3241.2复变函数(一)复变函数定义.)(,是单值的我们称函数那末的值的一个值对应着一个如果zfwz.)(,是多值的那末我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果zfwz是函数w=f(z)的定义域。F是f(z)的值域.B设B和F是复平面中的两个集合.如果有一种对应规则f,使得B中的每个点z,都有一个唯一确定的点wЄF与之对应,则我们称f是一个复变量函数,或简称复变函数,记作w=f(z)(zЄE).自变量与因变量都是复数的函数,称复变量函数.2020/3/325•由于函数f(z)是一个复数,所以:•可以将复变函数f(z)表示为实部与虚部之和,并把实部和虚部分别记为u(x,y)和v(x,y),即,•f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy•上式表示:•一个复变函数可以用两个二元实函数表示.2020/3/326(二)区域的概念邻域定义：如图，由不等式(δ为任意的正数)所确定的平面点集(简称点集)，就是以z0为中心的δ邻域或邻域。0zz00zz所确定的点集为z0的去心δ邻域或去心邻域。δ0zδ0z为了给出区域的严格定义，下面先介绍：邻域、内点，外点，边界点和开集等概念。由复变函数的定义我们知道，函数的定义域是一个满足一定条件的平面点集，我们称之为区域B。邻域如图，而称由不等式2020/3/327设E为点集（如图），z0为E中的一点。则：内点：如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于、点集E，则称z0为E的内点；外点：若点z0的某一个邻域内的点都不属于点集E，则称点z0为E的外点。边界点：若在点z0的任意一个邻域内，既有属于点集E的点，也有不属于E的点，则称点z0为E的边界点，点集E的全部边界点称为E的边界。注意区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。开集：若点集E的点皆为内点，则称E为开集。Ez0点集2020/3/328区域定义：点集E称为一个区域B，如果它满足：(1)E是一个开集；(2)E是连通的，就是说E中任何两点z1和z2都可以用完全属于E的一条折线连接起来。通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。区域B加上它的边界C(p)称为闭区域或闭域，记为.BBz1z2p区域2020/3/329单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域2020/3/330例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.2(1)Re()1;(2)arg;31(3)3;(4)114.zzzzzp解,)1(时当iyxz,)Re(222yxz,11)Re(222yxz无界的单连通域(如图).2020/3/3313arg)2(pz,3arg33argpppzz是角形域,无界的单连通域(如图).31)3(z,3131zzarg3zp是二条幅角分别为±π/3的线(如图).是以原点为中心半径为,1/3的圆的外部,无界的多连通域.2020/3/332411)4(zz表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,2222114114zzxyxy114,zz表示该椭圆内部有界的单连通域.2020/3/333(三）初等解析函数,.(cossin)zxeeyiy注意没有幂的意义只是一个符号代表1指数函数;)(2121zzzzeeec这里的ex是实指数函数实的正、余弦函数zxzzaeeeyeykkz()||0,arg()e0Arg()2,Zp性质：.)sin(cos.的指数函数为称设zyiyeeiyxzxz定义;)(,)(zzzeezeb而且平面上处处解析在.2)(为周期的周期函数是以iedzp2020/3/334三角正弦与余弦函数icosisin,yeyy将两式相加与相减,得iicos,2yyeeyiisin.2yyeeyi现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.2三角函数,sincosyiyeiy因为2020/3/335三角函数.cos)cos(,sin)sin(zzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzzpp.sincos)3(z