北京大学数学物理方法经典课件第四章——留数定理

12学习要求与内容提要目的与要求：掌握留数的概念及计算方法。掌握用留数定理计算典型实定积分的方法。重点：难点：理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系。留数的计算与留数定理3（一）留数引入0z)(zf设为在l构成区域内的一个孤立奇点;0z.的某去心区域(内半径为零)0zRzz00(2)取l0为去心区域内包含0z的任一条正向简单闭曲线4.1留数定理ll001010)()()(azzazzazfkk+++++=LLLLL++++kkzzazza)()(001内的洛朗级数:)(zfRzz00在(1)由洛朗级数展开定理:)(zf在去心区域内解析，可展开洛朗级数。400(柯西定理)2iLLL++++=l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+++++zzzazzzazakl0kl0l0d)(d)(d001012=ia的系数洛朗级数中负幂项101)(zza由柯西定理,我们有积分各正幂项fk(z-z0)=ak(z-z0)k是解析函数0()()ddllfzzfzz=011Res()()d2πilfzfzza==即：()fz0z称为称为在有限远点z0处的留数处的留数5（二）留数定理说明:Resf(bj)：f(z)在的无心邻域0|z−bj|R中的罗朗级数的系数a-1(j)，称为f(z)在z=bj的留数。a-1(j)：f(z)在它的第j个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中(z-bj)-1的系数。1()d2iRes().==njljfzzfb1.留数定理)(zf在区域B内除有限个孤12,,,nbbb外处处解析,l是闭区域B包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么立奇点函数l：B内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。1b2bnbBLl...6证12()d()d()d+++lllnfzzfzzfzz()d=lfzz12111()d()d()d2i2i2i++lllnfzzfzzfzz12()()()ResResResnfbfbfb=+++两边同时除以，则有2i1b2bnbBLl...由复连通域的柯西定理)(Res1==njbjf7•(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数奇点的留数。留数定理：将上述两者建立了一种关系。•(2)要计算解析函数的积分，关键：计算留数；•(3)bj(j=1,2,…)是l所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。1()d2iRes()==mjljfzzfb即：8解:采用洛朗展开式求1a:+=L!5!31sin5366zzzzzzzz16105sinRes,.!zzaz==311135,!!zz=+例1求6sin()zzfzz=在0=z的留数.9(1)如果0z为)(zf的可去奇点,0(.)0Res=fz则0000()lim()(.)Reszzfzzzfzz=如果为的一级极点,那末0z)(zf•规则1(2)如果0z为的本性奇点,)(zf(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf)(zf展开则需将成洛朗级数求1a求a-1)()(0kkkzzazf==2.留数的计算方法求a-110000.()lim()()Reszzfzzzfz=•规则1证=0)()(zzazf11L+++)(010zzaa0)()(=1azfzzL+++0100)()(21zzazza如果0z为的一级极点,则)(zf取zz0的极限，即得a-1。11100101()lim[()()](1)!.dResdmmmzzfzzzfzmz=证+++=2020)()()(zzazzazfmmLL++++)()(010101zzaazza101010)()()()(++++=mmmmzzazzaazfzzLL++++10100)()(mmzzazza如果0z为的m级极点,那么)(zf•规则212+(含有正幂的项)0zz)].()[(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz=)]()[(dd011zfzzzmmm两边求1m阶导数,得1)!1(=am,)!1()]()[(ddlim10110=amzfzzzmmmzz1)(Res=az0f所以13例2求nzzezf=)(在0=z的留数.解0()zfzn=因为是的阶极点，Res0f所以.)!1(1=n=nznnnzzezzn110ddlim)!1(1100101()lim[()()](1)!.dResdmmmzzfzzzfzmz=14•规则3如果,0)(,0)(,0)(000=zQzQzP设,)()()(zQzPzf=)(zP及)(zQ在0z都解析，证0z所以的一级零点,为)(zQ)(1zQ0z的一级极点.为那末0z为的一级极点,)(zf000((.))()ResPzfzQz=且有0)(,0)(00=zQzQ因为15解析且0z.0)()(00zzP在因此),(1)(10zzzzQ=其中在解析且)(z0z,0)(0z0z所以为的一级极点,)(zf000()lim()()Reszzfzzzfz=00000()lim()()()zzPzQzQzzQzz==.)()(00zQzP=.)()(1)(0zzPzzzf=16例3计算f(z)=在z=0处的留数.esinzz解:P(z)=ez,Q(z)=sinz，于是P(0)=1,Q(0)=0,Q'(0)=1.0010Res()()PfQ==1712=+Restanzkz12=+='sin|(cos)zkzz1=,=tandznzz所以2=i1122=++Restanzkknz2=i12()n4=i.n例4tand().znnzz=为计分正整数算积解sin()tancos()zPzzzQz=因=;只以10112=+=,,,,zkknn,为一阶极点18例5计算积分2(1),dlzezzzl为正向圆周:.2=z解20(0)lim(1)=Reszzefzzz2011==lim,()zzez2211(1)lim(1)(21)!(1)dResdzzefzzzz=0=z为一级极点,1=z为二级极点,=zezzzddlim121)1(limzzezz=,0=2(1)dzlezzz所以210i()=+2(0)(1)iResResff=+2i.=f(z)19（三）无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向1()2idlfzz=记作:1()()2=Resdilffzz定义1=a设函数)(zf在圆环域+zR内解析，l为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，点的留数，在为)(zf12()dilfzz的值与l无关，则称此定值那么积分20其中l:|z|=ρR,积分方向为顺时针方向（实际上是包含无穷远点的区域的正方向）．如果f(z)在z=∞的去心邻域R|z|+∞内的罗朗级数为•由逐项积分定理及公式得到••也就是说Resf(∞)等于f(z)在∞的去心邻域的罗朗展开式中1/z项系数的负值．101()kkkkaafzaazazzz=++++++++111Res()()d()d2πi2πillffzzfzza===.l21....1z.2z.kz.证1()()ResResnkkffz=+11()()022=+=ddiillfzzfzz由留数定义有:(绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线)l包含在*.留数和定理如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括点)的留数的总和必等于零.)(zf22•解：共有七个奇点：前6个根均在内部，故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题。即iz=420123,,,kzk===z4=z2iRezIsfz==•例7计算152342412dzzIzzz==++•而故。从而152324162411212131211==++++zfzzzzzzz11Rezsfza===2iI=23•§4.1•1.（1）（3）（5）（7）（9）•2.（1）（3）•3.24在物理学中常常需要计算一些特殊积分．例如，光学问题中需要计算菲涅耳积分2200cos()d,sin()dxxxx；热传导问题中需要计算0cos()daxebxx；阻尼振动问题中需要计算积分0sindxxx等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算．原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时，zx=即对应于实积分），再利用留数定理，则积分显得方便易求．4.2应用留数定理计算实变函数定积分25留数定理计算实变函数定积分要点：设法把实变函数定积分跟复变函数的闭合围线积分联系起来。把实变定积分联系于复变函数的闭合回线积分的要点：()bafxdx①把实积分，的积分区间[a,b]看成复平面实轴上的一线段l1。②添加路径l2，使l=l1+l2构成复平面中包围区域B的回路（类型二—四）。260ab③实积分解析延拓为回路区域B内的复积分，而原实积分成为回路积分的一部分(如图).或④利用自变量的变换把l1变换成复数平面上的闭合围线，这样就可以应用留数定理了。（类型一）1l2l2()()()bllafzdzfxdxfzdz=+左边可以利用留数定理，右边对l2的积分在解析延拓允许的情况下，可以自由选择，通常以最易完成积分的线路选择l2。27（一）型的积分20π(cos,sin)dRxxx2方法:，将自变量作这换：xz.把被积函数转化为复变函数。积分区域为[0，2π]，如不是要先变为[0，2π]ixze=令ididxzex=dd,izxz=12iisin()ixxxee=,212izz=12iicos()xxxee=+,212zz+=当x历经变化]π2,0[时,1=z的正方向绕行一周.z沿单位圆周1特征：有理实函数R（cosx,sinx）在区域[0，2π]内连续.沿区间[0，2π]的实积分变成沿单位圆的回路复积分。2820π(cos,sin)dRxxx2211122d,iizzzzRzzz=+=1()dzfzz==z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件。包围在单位圆周内的诸孤立奇点。12πiRes().njjfb==留数定理29例1计算积分2200πsind()cosxxababx+解i,=xze令则212sin,izxz=212cos,zxz+=idid,xzex=2222220111412πsin()ddcosizxzzxabxzzzabz==+++22221122()di()zzzzbzazb==++302222π2π2bbaba=).(2222baab=2222221212()dzzzaabizbzaabbbz==+22()2(0)()πResResaabiffb+=+0=z为二级极点,22aabzb+=为一级极点,31例2解01,p由于2212121cos()(cos)pxpppx+=+在区域[0，2π]不为零，故被积函数在[0，2π]连续.22122iicos()xxxee=+),