2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形

Ch.2控制系统的状态空间模型目录(1/1)目录概述2.1状态和状态空间模型2.2根据系统机理建立状态空间模型2.3根据系统的输入输出关系建立状态空间模型2.4状态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5传递函数阵2.6线性离散系统的状态空间描述2.7Matlab问题本章小结状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8)2.4状态空间模型的线性变换和约旦规范形从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的,如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的。即,状态空间模型不具有唯一性。状态空间模型的线性变换和约旦规范形(2/8)为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因:状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8)此外,在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和约旦规范形。于是自然会提出如下问题:如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。什么是状态空间的线性变换?如何理解?本章关键喔!状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8)状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换,而空间中的点的xx'yy'A(xa,ya)(x'a,y'a)坐标则相当于作了一次相似变换。如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)aaaayxPyx状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8)n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相似变换,都属于空间变换。其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标架的不同选择，同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线性空间不同坐标架之间的线性变换,因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换。状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8)引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了上述两个问题:1.不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状态空间模型之间也存在一个相应的相似变换。2.既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型。状态空间模型的线性变换和约旦规范形(7/8)本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何系统状态空间描述的约旦规范形。本章关键问题:1.线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力2.如何作系统线性变换3.系统的对角规范形和约旦规范形描述4.代数重数、几何重数与约旦矩阵5.如何求矩阵的广义特征向量建立空间概念,可是学好控制理论的关键喔状态空间模型的线性变换和约旦规范形(8/8)主要内容为:状态空间的线性变换系统特征值的不变性与系统的不变量化状态方程为对角线规范形化状态方程为约旦规范形状态空间的线性变换(1/2)2.4.1状态空间的线性变换对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。但是,这n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。状态空间的线性变换(2/2)下面分别讨论:状态空间的线性变换状态空间模型的线性变换上述状态变量向量x与间的变换,称为状态的线性变换。由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系ττ1212[...][...]nnxxxxxxxx状态空间的线性变换(1/1)1.状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为其中P为nn维的非奇异变换矩阵。xxxx1~~PP值得指出的是:x变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。x两种表达式式之间存在什么关系?状态空间的线性变换(1/14)2.状态空间模型的线性变换设在状态变量x和下,系统状态空间模型分别为x(,,,):(,,,):ABABCDCDABABCDCDxxuyxuxxuyxuPPAPBxxxu将变换关系x=P代入(A,B,C,D)的状态方程中有x状态空间的线性变换(2/14)11PAPPBCPDxxuyxu由于变换矩阵P非奇异,因此有则有应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型比较,则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系(,,,)ABCD11APAPBPBCCPDD其中t0为系统运动的初始时刻。)((~010tPtxx）系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2)2.4.2系统特征值的不变性与系统的不变量由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性。那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响,决定了系统的基本特性。系统特征值的不变性与系统的不变量(2/2)下面我们将讨论系统经状态线性变换后,其特征值不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。系统矩阵的特征值是一种描述系统本质特征的,并具有唯一性的不变量,即不随状态变量的选取不同而变化的不变量,它在系统分析和综合上起着重要的作用。下面将分别讨论:系统的特征值和特征向量系统特征值的不变性特征向量的计算广义特征向量和特征向量链难点喔!重点喔系统的特征值和特征向量(1/4)1.系统的特征值和特征向量状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。系统的特征值和特征向量(2/4)—特征值和特征向量定义定义2-2设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量。将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0其中I为n×n的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A|=0并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。系统的特征值和特征向量(3/4)—特征值和特征向量定义将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an=0其中ai(i=1,2,…,n)称为特征多项式的系数。因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代数方程,共有n个根。这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根1,2,…,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后,由式(2-46)或式(2-47)可求得矩阵对应于i的特征向量vi。系统的特征值和特征向量(4/4)如下定义所示,矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。定义对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。关于系统特征值,几点注记:A.一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B.对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭复数。系统特征值的不变性(1/2)2.系统特征值的不变性系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。系统特征值的不变性(2/2)对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换111|||||()|||||||||IAIPAPPIAPPIAPIA后,系统矩阵为xx~PAPPA1~可见,系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵的特征多项式为A即证明了A的特征多项式等于的特征多项式。A特征向量的计算(1/9)3.特征向量的计算如何求解特征值i对应的特征向量?求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=0由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量其他元素的值。特征向量的计算(2/9)当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。因此,就产生如下问题:问题:对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量?答案:矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组(2-47)的线性独立的方程数之差,即为n-rank(iI-A)其中rank为矩阵的秩。特征向量的计算(3/9)因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此,导出如下问题:独立的特征向量数到底具有什么意义?它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个概念。不要混淆喔!特征向量的计算(4/9)两个基本概念:代数重数。由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。几何重数。特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。代数重数和几何重数是两个不同的概念。几何重数具有几何上空间表征的意义,它代表在空间分解上不变的几何子空间的数目。而代数重数仅具有代数意义,它代表特征值在特征方程的重数。特征向量的计算(5/9)—例2-6例2-6求如下矩阵的特征向量002121103A解1.由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。0)2)(1(02121103||2AI特征向量的计算(6/9)—例2-6解该特征方程,可求得系统的特征值为1=12=3=2即2为系统的二重特征值,其代数重数为22.计算1=1的特征向量。(1I-A)v1=0即0102111102131211vvv特征向量的计算(7/9)—例2-6解之得特征向量v1的通解为v1=[v11v112v11]令v11=1,解之得v1=[v11v12v13]=[112]特征向量的计算(8/9)—例2-63.计算重特征值2=3=2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0即0202101101232221vvv特征向量的计算(9/9)--例2-6由于n-ran