2.4 空间群的推导

1.平行六面体的选择（即：画格子）对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客观存在的，但平行六面体的选择（画格子）是人为的。1.14种Bravais点阵类型第四章空间群的推导平行六面体的选择（画格子）原则如下：1）所选取的平行六面体应能反映结点分布整体所固有的对称性；2）在上述前提下，所选取的平行六面体中棱与棱之间的直角关系力求最多；3）在满足以上二条件的基础上，所选取的平行六面体的体积力求最小。1.14种Bravais点阵类型1.14种Bravais点阵类型例如：下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：mm24mm4mm1.14种Bravais点阵类型ABCDmm2引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？1.14种Bravais点阵类型BAC我们讨论了平行六面体（格子）的形状，并未讨论格子内的内容。如果一个格子就包含一个阵点，我们称之为素单位格子；如果包含有多于一个阵点时，我们就成为复单位格子。素格子复格子1.14种Bravais点阵类型平行六面体中结点的分布（即格子类型）1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及某一对面的中心。3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面的中心。1.14种Bravais点阵类型1.14种Bravais点阵类型补充说明：按单位平行六面体的7种划分和四种结点分布类型，空间格子应有7×4=28种，但实际给出14种。？？？这是因为：某些类型的格子彼此重复；一些格子不符合该晶系的对称。下边举例进行说明：1.14种Bravais点阵类型例1：四方底心格子＝四方原始格子所以，在14种布拉维格子中，四方底心格子不需要保留。1.14种Bravais点阵类型例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称。所以，在14种布拉维格子中，立方底心格子不存在。1.14种Bravais点阵类型空间群的国际符号由两部分组成：●符号首位字母(P、C、I、F或R)表示布拉维格子类型。●后继以对称型的国际符号，但将其中的对称要素符号换上相应内部构造的对称要素符号。●在表示对称元素时尽量写滑移面，仅在滑移面不存在时才写旋转轴。国际符号的3个方向仍按照各晶系定向。●如果在同一个方向不同位置有几种对称元素，对于反映面，我们按照m、a、b、c、n、d顺序找，既有前者又有后者时尽量写前者。●空间群的圣弗里斯符号是在同形点群符号右上角表上一个数字表示序号，如2.空间群的国际符号152vC实例说明：I41／amd空间群①从首位符号知，属于体心格子；②从后面的符号知，属于四方晶系4／mmm对称型；③由对称要素知，平行Z轴方向为螺旋轴41，垂直Z轴有滑移面a，垂直X轴为对称面m，垂直X轴与Y轴的角平分线为滑移面d。2.空间群的国际符号3.空间群的推导：以点群C2v为例在与点群C2v同形的空间群推导中，我们可以只考虑滑移面组合的情况，因为2次轴可右滑移面组合产生。这里的滑移面包括反映面，2次轴包括2次旋转轴。在晶体32个点群中，C2v属于正交晶系，有P、I、C、F四种布拉维格子。C2v点群中有2个正交的反映面，对应与微观上就表现为两个正交的滑移面，滑移面有m，n，a，b，c，d，6种。考虑2个正交滑移面的组合，如n和a的组合，根据对称元素组合原理：414442222)()(2)2()2(22bababababaccmmcbmamamcbman投影图如下图所示：下标⊥a表示该反映面垂直a方向，且包含原点，a/4表示该滑移面垂直a方向，且位置居原点a/4的位置。(a+b)/4表示该2次轴在格子中位置为(a+b)/4。3.空间群的推导：以点群C2v为例44422222baabababmmambmbmamba再如：所有组合如表所示：3.空间群的推导：以点群C2v为例因此根据上表组合可以得出：mnbcdmmm2nm21bm2cm21nmn21nn2bn21cn2ama2na21ba2ca21cmc21nc2bc21cc2ddd213.空间群的推导：以点群C2v为例对于P格子，内部没有非初基平移，不存在d滑移面，而且滑移面a和b定向是人为的，实际是一回事，所以根据上表，p格子有10种空间群。mnbcdmmm2nm21☺bm2♀cm21☼nmn21☺nn2bn21♂cn2♣ama2♀na21♂ba2ca21♥cmc21☼nc2♣bc21♥cc2d因此P格子的10个空间群为：Pmm2；Pmc21；Pcc2；Pma2；Pca21；Pnc2；Pmn21；Pba2；Pna21；Pnn23.空间群的推导：以点群C2v为例对于C格子、A格子、I格子都为二重复格子，附加平移分别为(a+b)/2、(b+c)/2、(a+b+c)/2。F格子为4重复格子，附加平移为(a+b)/2、(b+c)/2、(a+c)/2。5种滑移面与这些附加平移组合会产生新的滑移面，下面以反映面m为例进行说明：3.空间群的推导：以点群C2v为例3.空间群的推导：以点群C2v为例这样可以得到5种滑移面和4种附加平移的组合，如下表所示：3.空间群的推导：以点群C2v为例在C格子中，滑移面a和b定向也是人为的，实际是一回事，所以10种正交滑移面组合在C格子有：11112222222222CmmCmaCbaCmcCmnCnaCcaCccCnnCnc即在C格子中，有3种空间群：Cmm2；Cmc21；Ccc2从上表中可以得出下面的结论：在C格子中，m⊥b和a共存；m⊥a和b共存；n⊥b和c⊥b共存；n⊥a和c⊥a共存；3.空间群的推导：以点群C2v为例111111112222222222222222AmmAmcAncAnmAbmAbcAcmAccAmaAmnAnaAnnAbaAbnAcaAcn即在A格子中，有4种空间群：Amm2；Abm2；Amn2，Aba2在A格子中，m⊥b和c⊥b共存；m⊥a和n⊥a共存；n⊥b和a共存；c⊥a和b共存；由于在A格子中，a方向和b方向不能交换，因为(100)面有心，而(010)面无心，所以应该考虑5种正交滑移面全部16种组合：3.空间群的推导：以点群C2v为例1111Imm2=Inn2=Imn2Iba2=Icc2=Ica2Ima2=Imc2=Ina2=Inc2即在I格子中，有3种空间群：Imm2；Ima2；Iba2在I格子中，m⊥b和n⊥b共存；m⊥a和n⊥a共存；c⊥b和a共存；c⊥a和b共存；由于在I格子中，a方向和b方向可以交换，10种正交滑移面组合：3.空间群的推导：以点群C2v为例1111Fmm2=Fnn2=Fmn2=Fba2=Fcc2=Fca2=Fma2=Fmc2=Fna2=Fnc2最后考虑dd组合：d滑移面会产生一个附加平移(a+c)/2或者(b+c)/2，两个正交的dd滑移面又会增加一个附加平移，即：所以存在Fdd21空间群，其d⊥b和db/4共存，d⊥a和da/4共存，即在F格子中，有2种空间群：Fmm2；Fdd21在F格子中，先不考虑dd滑移面的组合，m⊥b、n⊥b、c⊥b、a共存；m⊥a、n⊥a、c⊥a、b共存；由于在F格子中，a方向和b方向可以交换，10种正交滑移面组合在F格子中完全等价：22222bacbacbca与C2v同形的空间群总共有：10(P)+3(C)+4(A)+3(I)+2(F)=223.空间群的推导：以点群C2v为例1.空间群212PmmCv3.空间群的推导：以点群C2v为例2.空间群2212vCPmc12222'ccmmcm3.空间群322vCPcc4.空间群422vCPma44222ababababaaamammmmmm222mmccmmcc3.空间群的推导：以点群C2v为例5.空间群6.空间群622vCPnc4222222abababbbccncmmbbmmc414222222abababacmmcmamamcmac3.空间群的推导：以点群C2v为例5212vCPca7.空间群8.空间群822vCPba42222222ababababbabammbaabmm4112222222abaaaccammnm3.空间群的推导：以点群C2v为例7212vCPmn822vCPba4112222222abaaaccammnm7212vCPmn9.空间群10.空间群1022vCPnn4222222ababababbcacnnmmababmmc41122222222babababacamcbman3.空间群的推导：以点群C2v为例9212vCPna11.空间群42222abbaabbamm3.空间群的推导：以点群C2v为例44'2222aaaaababbmmmb44'2222bbbbababammma2112CmmCv即m和b滑移面每隔a/4交替存在即m和a滑移面每隔b/4交替存在12.空间群411222222cbbabababacmmbacm3.空间群的推导：以点群C2v为例44'2222aaaaababbmmmb44222222'2bbbbababcabccmacmn11222CmcCv即m和b滑移面每隔a/4交替存在即c和n滑移面每隔b/4交替存在13.空间群42222222cbbabababaccmmbacc3.空间群的推导：以点群C2v为例44222222'2bbbbababcabccmacmn2132CccCv即c和n滑移面每隔b/4交替存在即c和n滑移面每隔a/4交替存在14.空间群3.空间群的推导：以点群C2v为例2142AmmCv4b122222bccbmmbaaancbm2442'222bbbbccmcbmcbm即垂直b轴，m和c滑移面每隔b/4交替存在15.空间群3.空间群的推导：以点群C2v为例2152AbmCv14222222ababbbcbbcbcbmmmaaaaccmcbbmcbb2222442'222bbbbccmcbmcbm即垂直b轴，m和c滑移面每隔b/4交替存在16.空间群3.空间群的推导：以点群C2v为例1622vCAma144222222ababaabbcabcbcmamm44222222bbbbbbcabcbacammacmn2aabcmn即垂直b轴，a和n滑移面每隔b/4交替存在17.空间群3.空间群的推导：以点群C2v为例1722vCAba1442222222ababababcbabcbcbamm44222222bbbbbbcabcbacammacmn222aaabcbbcbmc即垂直b轴，a和n滑移面每隔b/4交替存在18.空间群3.空间群的推导：以点群C2v为例1822vFAmm44'2222aaaabaabbmmmb空间群有附加平移(a+c)/2,(b+c)/2,(a+b)/2,将m分别与之组合4