2.4.1 函数单调性与极值的判别

3.5极值、最值·第3章1三、最大值与最小值二、极大值与极小值2.4.1函数单调性与极值的判别一、函数单调性3.5极值、最值·第3章2一、函数单调性若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕3.5极值、最值·第3章3例1.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12导数为零的点可能是单调区间的分界点3.5极值、最值·第3章4yxo说明:1)单调区间的分界点除导数为零的点外,也可能是不可导点.例如,32xy2)如果函数在某导数为零的点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yox3xy3.5极值、最值·第3章5例2.证明时,成立不等式3.5极值、最值·第3章6二、极大值与极小值定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.3.5极值、最值·第3章7注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不可导点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,12xoy12驻点3.5极值、最值·第3章8定理2(极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf处取得极值，那么00()fx定理1(必要条件)设函数在处可导，且在()fx0x0x回忆费马引理导数为零的点即的实根叫做的驻点.00()fx()fx驻点一定是极值点吗？3)(xxf3.5极值、最值·第3章9例1.求函数的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf05200233255())0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为3.5极值、最值·第3章10求极值的一般步骤：(1)求)(xf(2)求驻点及不可导点(3)检查在驻点及不可导点左右的正负号,判断极值点)(xf(4)求极值练习.求函数的单调区间与极值322)1()5(xxy3.5极值、最值·第3章11练习.求函数的单调区间与极值322)1()5(xxy132(5)(42)3(1)xxxy－不存在＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗x(,1)11(1,)2121(,5)25(5,)fx()()fx3.5极值、最值·第3章12定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.3.5极值、最值·第3章13注：3.5极值、最值·第3章14例2.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy13.5极值、最值·第3章15oxyoxybaxoyab()[,]()[,].fxabfxab若函数在上连续，则在上的最大值与最小值存在ab驻点端点端点和不可导点则其最值可能在驻点、不可导点或区间端点处取得.三、最大值与最小值3.5极值、最值·第3章16求函数最值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值.3.5极值、最值·第3章17特别:•当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)3.5极值、最值·第3章18解)1)(2(6)(xxxf得解方程,0)(xf.1,221xx计算)3(f;23)2(f;34)1(f;7;142)4(f32231214[3,4].yxxx求函数的在上的最大值与最小值例3.3.5极值、最值·第3章19实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;或最小）值．值即为所求的最（最大则该点的函数点，且是极值点若目标函数只有唯一驻,3.5极值、最值·第3章20例某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，x租出去的房子有套，1018050x每月总收入为)(xR)20(x1018050x3.5极值、最值·第3章211068)20()(xxxR101)20(1068)(xxxR570x0)(xR350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为1035068)20350()(xR)(10890元3.5极值、最值·第3章22例220808yxyxyxyx由直线，及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大．解如图,),,(00yxP设所求切点为为则切线PT),(2000xxxyyTxyoPABC,200xy),0,21(0xA)16,8(200xxB),0,8(C)16)(218(212000xxxSABC)80(0x3.5极值、最值·第3章23,0)1616643(41020xxS令解得).(16,31600舍去xx8)316(s.0.274096)316(为极大值s.274096)316(最大者为所有三角形中面积的故s)16)(218(212000xxxSABC)80(0x3.5极值、最值·第3章24(k为某一常数)练习.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20AB100C解:设,(km)xADx则,2022xCD,)34005(2xxky23)400(40052xky令得又所以为唯一的15x极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问D20km,公路,3.5极值、最值·第3章25内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不可导点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值3.5极值、最值·第3章26最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则在点a处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.