7.正弦定理和余弦定理资料

RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考纲要求考情分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型多为选择题和解答题，主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解答题常与三角恒等变换结合．属解答题中的中低档题．在新课标中尤其是显得重要，如2011年山东、浙江、江西、江苏等.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P78)知识梳理正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝c2＋a2－2ca·cosB，c2＝a2＋b2－2ab·cosC.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA.cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）问题探究1：在△ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？提示：充要条件．因为sinAsinB⇔a2Rb2R⇔ab⇔AB.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）问题探究2：如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示：∵cosA与b2＋c2－a2同号，∴当b2＋c2－a20时，角A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形为钝角三角形．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）答案：C自主检测1．(2011年郑州市质量预测(二))已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是()A．60°B．90°C．120°D．135°解析：∵在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝1∶1∶3，设a＝b＝k，c＝3k，则cosC＝k2＋k2－3k22×k×k＝－12，∴C＝120°，故选C.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）2．(2011年邹城一中5月模拟)△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，若sin2B＝sinAsinC，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：∵A、B、C成等差数列，且A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∵sin2B＝sinA·sinC，∴b2＝ac，又b2＝a2＋c2－2ac·cos60°＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，∴a＝c，∴△ABC为等边三角形．答案：CRJ·A版·数学新课标高考总复习（理）答案：B3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：由已知得b2＝ac，c＝2a，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝5a2－2a24a2＝34.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）答案：A4．(2010年湖南高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定解析：由正弦定理，得csin120°＝asinA，∴sinA＝a·322a＝6412.∴A30°.∴B＝180°－120°－A30°.∴ab.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）5．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且acosB＝bcosA，则△ABC的形状为________．答案：等边三角形解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，得C＝π3，由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA，∴sin(A－B)＝0.∵A、B为△ABC的内角，∴A＝B，∴△ABC为等边三角形．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）6．(2011年北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析：在△ABC中，∵tanA＝2,0Aπ2∴cos2A＝11＋tan2A＝15∴cosA＝55，∴sinA＝255∴asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB＝5×25522＝210答案：255210RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P78)考点1利用正、余弦定理解三角形1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．3．三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例1(2011年全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.【解】由A－C＝90°，得A为钝角且sinA＝cosC，利用正弦定理，a＋c＝2b变形为sinA＋sinC＝2sinB，即有sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝2sin(C＋π4)＝2sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋π4＝B，所以A＋B＋C＝(π2＋C)＋(C＋π4)＋C＝π⇒C＝π12.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2011年江苏高考)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解：(1)由题设知sinAcosπ6＋cosAsinπ6＝2cosA，从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0，tanA＝3.因为0Aπ，所以A＝π3.(2)由cosA＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bcosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sinC＝cosA＝13.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点2利用正、余弦定理判定三角形形状依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例2(2010年辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】(1)由已知和正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，结合余弦定理知cosA＝－12，A＝120°.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2＋bc，∴sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，又sinB＋sinC＝1，所以sinB＝sinC＝12，又0°B，C90°，∴B＝C，所以△ABC是等腰的钝角三角形．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边．如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B，求证：△ABC是直角三角形．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）证明：由已知得：a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]．利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得asinB＝bsinA，∴acosA＝bcosB.又由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.∵A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝π2.∴△ABC是直角三角形．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）考点3正、余弦定理的综合应用在高考中，平面向量往往渗透在三角函数和解三角形中，通过平面向量的数量积、平行、垂直等条件叙述题意，本质上仍是考查三角函数或解三角形的内容．解答时注意问题的转化．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）例3(2010年安徽高考)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【解】(1)因为sin2A＝(32cosB＋12sinB)(32cosB－12sinB)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.(2)由AB→·AC→＝12，可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝27及①代入，得c2＋b2＝52，③RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由cb知c＝6，b＝4.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2011年山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）解：(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14解得a＝1，从而c＝2又因为cosB＝14，且0Bπ，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）(对应学生用书P79)易错点局限表面，忽视隐含条件设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，求B.RJ·A版·数学新课标高考总复习（理）【错解】由cos(A－C)＋cosB＝32，将B＝π－(A＋C)代入cos(A－C)＋cosB＝32得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32.利用两角和与差的余弦公式展开得sinAsinC＝34.又由b2＝ac，利用正弦定理进行边角互化，得