一元一次方程奥数专练

1第06讲一元一次方程概念和等式性质考点·方法·破译1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．经典·考题·赏析【例１】下面式子是方程的是()A．x＋3B．x＋y＜3C．2x2＋3＝0D．3＋4＝2＋5【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2＋3＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．【变式题组】01．在①2x＋3y－1．②2＋5＝15－8，③1－13x＝x＋l，④2x＋y＝3中方程的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是()A．272＋x＝13(196－x)B．13(272－x)＝196–xC．12×272＋x＝196－xD．13(272＋x)＝196－x03．根据下列条件列出方程：⑴3与x的和的2倍是14⑵x的2倍与3的差是5⑶x的15与13的差的2倍等于1【例２】下列方程是一元一次方程的是()A．x2－2x－3＝0B．2x－3y＝4C．1x＝3D．x＝0【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．【变式题组】01．以下式子：①－2＋10＝8；②5x＋3＝17；③xy；④x＝2；⑤3x＝1；⑥3xx＝4x；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．02．（江油课改实验区）若（m－2）23mx＝5是一元一次方程，则m的值为()A．±2B．－2C．2D．403．（天津）下列式子是方程的是()A．3×6＝18B．3x－8c．5y＋6D．y÷5＝1【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5＝0的解，则k的值是()2A．8B．3C．83D．83【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3＋5＝0，k＝83故选择D．【变式题组】01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解()A．3x＝2x－1B．3x－2x＋2＝0C．3x－1＝2x＋1D．3x＝2x－202．（自贡）方程3x＋6＝0的解的相反数是()A．2B．－2C．3D．－303．（上海）如果x＝2是方程112xa的根，那么a的值是()A．0B．2C．－2D．－604．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：(1)某数的3倍比这个数大4；(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？【例4】（太原）c为任意有理数，对于等式12a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的是()A．两边都减去－3cB．两边都乘以1cC．两边都除以2cD．左边乘以2右边加上c【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．【变式题组】01．（青岛）如果ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是()A．ma＋1＝mb＋1B．ma−3＝mb−3C．12ma＝12mbD．a＝b02．（大连）由等式3a−5＝2a＋b得到a＝11的变形是()A．等式两边都除以3B．等式两边都加上（2a－5）C．等式两边都加上5D．等式两边都减去（2a－5）03．（昆明）下列变形符合等式性质的是()A．如果2x−3＝7，那么2x＝7−xB．如果3x−2＝x＋l，那么3x−x＝1−2C．如果－2x＝5，那么x＝－5＋2D．如果－13x＝1，那么x＝－3【例5】利用等式的性质解下列方程：⑴x＋7＝19⑵－5x＝30⑶－13x−5＝4⑴解：两边都减去7得x＋7−7＝19−7合并同类项得x＝12⑵解：两边都乘以15得x＝－63⑶解：两边都加上5得－13x−5＋5＝4＋5合并同类项得－13x＝9两边都乘以－3得x＝－27【解法指导】要使方程x＋7＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．【变式题组】01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v，回来的速度是2v，则他的平均速度为()A．122vvB．12122vvvvC．12122vvvvD．1212vvvv02．（杭州）已知11xy是方程2x−ay＝3的一个解，那么a的值是()A．1B．3C．－3D．－103．（郑州）下列变形正确的是()A．由x＋3＝4得x＝7B．由a＋b＝0，得a＝bC．由5x＝4x－2得x＝2D．由6x＝0，得x＝004．（南京）解方程2332x()A．同乘以23B．同除以32C．同乘以－32D．同除以32【例6】根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x＋0.lx−0.02x＝1080．【变式题组】01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是()A．160元B．128元C．120元D．8元02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，【例7】（“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是l．求代数式40p＋l0lq＋4的值．4【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．解：把x＝l代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：(1)若p＝2，则Sq＝95，q＝19，40p＋l01q＋4＝40×2＋101×19＋4＝2003；(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p＋l0lq＋4的值为2003.【变式题组】01．（广东省竞赛题）已知x＝3x＋1，则（64x2＋48x＋9）2009＝_______．02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：abcd＝ad−bc，已知241xx＝18，则x＝()A．－1B．2C．3D．4演练巩固反馈提高01．下面四个式子是方程的是()A．3＋2＝5B．x＝2C．2x−5D．a2＋2ab≠b202，下列方程是一元一次方程的是()A．x2−2x−3＝0B．2x−3y＝3C．x2−x−1＝x2＋1D．110x03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是()A．12x＝7−xB．12x＋7＝−xC．12＋7＝xD．12＝x＋704．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为()A．5x＋15＝1200B．5x－15＝1200C．4x＋15＝1200D．4（x＋15)＝120005．在方程①3x−4＝7；②2x＝3；③5x−2＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是()A．①②B．①③C．②④D．③④06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是()A．3B．5C．－5D．－1307．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝a2＋b则（－2）△x＝10中x为()A．－6B．6C．8D．－808．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是()A．(a＋10)(b－1)＝abB．（a−10)(b＋l)＝3000C．30001b＝a＋10D．300010a＝b−1509．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝10＋x的解是_______．11．（福州）已知34m−1＝34n，试用等式的性质比较m、n的大小．12.（西宁）已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？培优升级奥赛检测01．下列判断中正确的是()A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解，B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解．C．方程x(2x－3)＝x的解是方程2x－3＝1的解．D．方程2x−3＝1的解是方程x(2x－3)＝x的解．02．方程2009122320092010xxx的解是()A．2008B．2009C．2010D．201103．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中(1)方程ax＝0的解是x＝l(2)方程ax＝a的解是x＝l(3)方程ax＝1的解是x＝1a(4)axa的解是x＝±1结论正确的的个数是()A．0B．1C．2D．304．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是()A．正数B．非正数C．负数D．非负数05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3a2−5a＋4有整数解，则a的值共有()A．1个B．3个C．6个D．9个06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程5x＋（x−5）＝0的解的个数为()6A．不确定B．无数个C．2个D．3个07．若x＝9是方程123xa的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程123xa的解是______．08．方程1322035yy的解是_____，方程3115xx的解是_____．09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知39901995x＝1995，那么x＝____．10．（“希望杯”邀请赛试题）已知2xx，那么19x99＋3x＋27的值为____．11．（广西竞赛）解关于x的方程xabxbcxaccab＝－3．12．a为何值，方程16326axxax有无数个解．13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？第07讲一元一次方程解法考点·方法·破译1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．2．会用一元一次方程解决实际问题经典·考题·赏析【例１】解方程：5x＋2＝7x－8【解法指导】当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．解：移项，得5x－7x＝－8－2合并同类项，得－2x＝－10系数化为1，得x＝5【变式题组】01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（）A．4B．－4C．2D．－102．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（