搜索
抓住3个考点突破3个考向第7讲函数的图象及其应用抓住3个考点突破3个考向考点梳理常见函数的图象：一次函数、二次函数、正比例函数，反比例函数、指数函数、对数函数．1．常见函数的图象抓住3个考点突破3个考向抓住3个考点突破3个考向(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向___(＋)或向____(－)平移____单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向___(＋)或向___(－)平移____单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于_____对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于_____对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．2．图象的变换左a个上下b个x轴原点右抓住3个考点突破3个考向(3)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，即得到y＝_____的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并把y轴左边的图象关于y轴对称翻折到y轴右边，即得y＝_______的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的___倍．|f(x)|f(|x|)a抓住3个考点突破3个考向(1)对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的____倍．1a3．识图与用图抓住3个考点突破3个考向一个复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，应重点复习，主要在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把常见的基本题型的解法技巧理解透，掌握好．【助学·微博】抓住3个考点突破3个考向答案－2答案左下1考点自测1．已知函数y＝log2x与y＝kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为12，则k＝________.2．为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个长度单位．抓住3个考点突破3个考向答案点(－2,3)3．函数y＝3x－1x＋2的图象关于________对称．解析y＝3x－1x＋2＝3－7x＋2，∵y＝－1x关于点(0,0)对称，∴y＝3－7x＋2关于点(－2,3)对称．抓住3个考点突破3个考向答案(－∞，0]∪[3，＋∞)4．已知函数f(x)＝log3x，x0，13x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为________．解析由题意得，当x0时，由f(x)≥1得log3x≥1，即x≥3；当x≤0时，由f(x)≥1得13x≥1，即x≤0.综上可得，不等式f(x)≥1的解集是(－∞，0]∪[3，＋∞)．抓住3个考点突破3个考向解析当a＞1时，y＝2a＞2，函数y＝|ax－1|的图象如图(1)，此时直线y＝2a与函数y＝|ax－1|的图象只有一个交点．当0＜a＜1时，y＝2a＜2；5．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是________．抓住3个考点突破3个考向函数y＝|ax－1|的图象如图(2)，当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|的图象有两个公共点，则0＜2a＜1，∴0＜a＜12.答案0＜a＜12抓住3个考点突破3个考向解(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图(1)．考向一函数图象及其变换(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1x＋1；(3)y＝10|lgx|.【例1】分别画出下列函数的图象．抓住3个考点突破3个考向(2)y＝2x＋1x＋1＝2x＋1－1x＋1＝2－1x＋1，可由函数y＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)．抓住3个考点突破3个考向[方法总结](1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．(3)y＝10|lgx|＝x，x≥1，1x，0＜x＜1，如图(3)．抓住3个考点突破3个考向①f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；其中T是f(x)的同值变换的有________(写出所有符合题意的序号)．【训练1】定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：③f(x)＝xx＋1，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称．抓住3个考点突破3个考向答案①③解析对于①：f(x)值域为[0，＋∞)，经变换T后f(x)＝(x＋1)2，值域也是[0，＋∞)．对于②：f(x)的值域为(－1，＋∞)，经变换T后f(x)＝1－2x－1，值域为(－∞，1)．对于③：f(x)＝1－1x＋1，其图象关于点(－1,1)对称，因此经变换T后值域不变．抓住3个考点突破3个考向(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．考向二应用函数图象研究与方程有关的问题【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x0，其中e表示自然对数的底数)．解(1)法一∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．抓住3个考点突破3个考向法二作出g(x)＝x＋e2x的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m20，Δ＝m2－4e2≥0等价于m0，m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.抓住3个考点突破3个考向∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.故当t－1＋e22e，即t－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象．抓住3个考点突破3个考向[方法总结](1)曲线交点、函数零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数．利用此法也可由解的个数求参数值或范围．(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用．抓住3个考点突破3个考向【训练2】(2012·苏北四市调研)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．解析如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观察图象可知，a的取值必须满足a＞1，4a－14＜1，解得1＜a＜54.抓住3个考点突破3个考向答案1，54抓住3个考点突破3个考向【例3】(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．考向三应用函数图象研究与函数有关的综合性问题(2)(2012·苏州高三暑期自主学习调查)已知函数f(x)＝lgx，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________(填序号)．①(1,10)②(5,6)③(10,12)④(25,34)抓住3个考点突破3个考向解析(1)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．抓住3个考点突破3个考向(2)y＝f(x)的图象如图所示，令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，则由图象可得，当abc时，必有1a10，b＋c＝2×12＝24，所以25a＋b＋c34.答案(1)4(2)④[方法总结]通过作出函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)等图象，研究与函数有关的综合性问题是高考的热点之一．解这类问题，通过图象转化是关键．抓住3个考点突破3个考向【训练3】(1)(2011·山东卷改编)函数y＝x2－2sinx的图象大致是________．(2)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________．抓住3个考点突破3个考向答案(1)③(2)①解析(1)y′＝12－2cosx，由y′＝0，得cosx＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y＝x2－2sinx有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．故选③.(2)y＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，当x0时，e2x－10且随着x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选①.